Preguntas y comentarios

Durante unos tres años este espacio estuvo abierto para que los lectores de Gödel para Todos plantearan las consultas, dudas o sugerencias que hubieran podido surgir de la lectura del libro. Esas consultas y sus respuestas se conservan todavía aquí en forma de comentarios.

300 comentarios:

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Anónimo dijo...

Hola

Me gustaría saber, porque no llego a entenderlo en la demostración, y hace que no termine de convencerme. ¿Cómo podemos conocer la verdad de "yo soy demostrable" sin demostracion


Es decir, como podemos saber que es cierta la afirmacion "yo soy demostrable" sin poderse decir que la hemos demostrado. ¿Se puede lllegar a saber la verdad de algo que no sea demostrable?

Nada más. un saludo

Gustavo Piñeiro dijo...

El Teorema de Incompletitud no dice que la afirmación no sea demostrable, sino que no es demostrable usando métodos finitistas.

Un saludo,

Anónimo dijo...

¿Qué otros métodos de demostracion hay aparte de los metodos finitistas

Anónimo dijo...

Hola de nuevo, no, era simplemente por aclararte, aunque veo que lo has entendido ya al responderme. Me equivoqué y puse "soy demostrable" en vez de "no soy demostrable"

Gustavo Piñeiro dijo...

Por ejemplo, métodos basados en axiomas de orden superior.

Un saludo,

Anónimo dijo...

Hola de nuevo

Es sobre la misma cuestón de ayer , estoy un poco atascado, cuando en el libro dices demostracion, y cuando Gödel decía no demostrable, se refería a una demostración en el sentido "Hilbert" (mediante un numero finito de pasos), no a no demostrable en general. ¿Es así?

¿Hay otros metodos, aparte de trabaja con recursividad y un numero finito de pasos, que se ajustaran al programa formalista de Hilbert?

Un saludo y gracias

Anónimo dijo...

Hola

En la pag.161, de la edición española, afirmas que "yo no soy demostrabe" es verdadera. Pero en la 166-167, afirmas que el que sea verdadero el enunciado, es algo relativo. Entonces, ¿por qué afirmas que es verdadero, parece como si simplemente fuese verdadero por justificar el teorema de Gödel.

Es una duda sobre el teorema de incompletitud en su forma semántica, no sobre la sintactica, que la tengo más clara

Gustavo Piñeiro dijo...

Hola,

Voy por partes:

1) Un enunciado, en cuanto objeto sintáctico (es decir, visto meramente como una sucesión de símbolos) admite diferentes interpretaciones. es decir, puede pensarse que sus variables se refieren a elementos de diferentes universos y/o que sus símbolos representan diferentes funciones y relaciones.

Un mismo enunciado puede ser verdadero para algunas de esas interpretaciones y falso para otras. Ése es el sentido de la explicación de las págs. 166-167.

Ahora bien, en la demostración semántica asumimos que la interpretación es la usual: las variables se refieren a números naturales, "+" es la suma de números naturales, etc. Así interpretados los símbolos el enunciado G (que en realidad enuncia una relación aritmética entre números naturales) puede parafrasearse con la expresión: "Yo no soy demostrable" y, si los axiomas sean verdaderos, G es también un enunciado verdadero.

2) No existe "demostrable en general". La demostrabilidad, o no, de un enunciado depende de los axiomas y de las reglas de inferencia que adoptemos.

En el enunciado del Teorema de Gödel "demostrable" quiere decir, en efecto, "demostrable a lo Hilbert", es decir tales que sea posible verificar mecánicanicamente en una cantidad finita de pasos si una sucesión de enunciados forma, o no, una demostración. Sólo este tipo de demostraciones es admisible en el Programa de Hilbert.

3) Una de las condiciones necesarias para que el requisito exigido por el programa de Hilbert pueda cumplirse es que el conjunto de los enunciados universalmente válidos (enunciados que son verdaderos, no importa qué interpretación se atribuya a los símbolos, no importa a qué universo se estén refiriendo las variables) sea recursivamente axiomatizable.

El conjunto de Los enunciados universalmente verdaderos de la lógica de primer orden es recursivamente axiomatizable (éste es el Teorema de Completitud de Gödel). Sin embargo, el conjunto de los enunciados de la lógicas de orden superior no es recursivamente axiomatizable y, por lo tanto, una teoría expresada en un lenguaje de orden superior no cumple los requisitos del programa de Hilbert. En este sentido, la lógicas de orden superior no son finitistas.

Un saludo,

Gustavo Piñeiro dijo...

Hola,

Voy por partes:

1) Un enunciado, en cuanto objeto sintáctico (es decir, visto meramente como una sucesión de símbolos) admite diferentes interpretaciones. es decir, puede pensarse que sus variables se refieren a elementos de diferentes universos y/o que sus símbolos representan diferentes funciones y relaciones.

Un mismo enunciado puede ser verdadero para algunas de esas interpretaciones y falso para otras. Ése es el sentido de la explicación de las págs. 166-167.

Ahora bien, en la demostración semántica asumimos que la interpretación es la usual: las variables se refieren a números naturales, "+" es la suma de números naturales, etc. Así interpretados los símbolos el enunciado G (que en realidad enuncia una relación aritmética entre números naturales) puede parafrasearse con la expresión: "Yo no soy demostrable" y, si los axiomas sean verdaderos, G es también un enunciado verdadero.

Gustavo Piñeiro dijo...

Sigo,

2) No existe "demostrable en general". La demostrabilidad, o no, de un enunciado depende de los axiomas y de las reglas de inferencia que adoptemos.

En el enunciado del Teorema de Gödel "demostrable" quiere decir, en efecto, "demostrable a lo Hilbert", es decir tales que sea posible verificar mecánicanicamente en una cantidad finita de pasos si una sucesión de enunciados forma, o no, una demostración. Sólo este tipo de demostraciones es admisible en el Programa de Hilbert.

3) Una de las condiciones necesarias para que el requisito exigido por el programa de Hilbert pueda cumplirse es que el conjunto de los enunciados universalmente válidos (enunciados que son verdaderos, no importa qué interpretación se atribuya a los símbolos, no importa a qué universo se estén refiriendo las variables) sea recursivamente axiomatizable.

El conjunto de Los enunciados universalmente verdaderos de la lógica de primer orden es recursivamente axiomatizable (éste es el Teorema de Completitud de Gödel). Sin embargo, el conjunto de los enunciados de la lógicas de orden superior no es recursivamente axiomatizable y, por lo tanto, una teoría expresada en un lenguaje de orden superior no cumple los requisitos del programa de Hilbert. En este sentido, la lógicas de orden superior no son finitistas.

Un saludo,

Anónimo dijo...

Hola de nuevo

Dices que la demostrabilidad no es un concepto absoluto, que depende de los axiomas (imagino te refieres a los axiomas logicos) y las reglas de inferencia.

¿Hay algun otro tipo de reglas y axiomas , que no sean las de primer orden, cuya consistencia pueda probarse, y se usen en matemáticas, o el finitismo (que no es valido en logica de orden 2 , por ejemplo) es la unica manera de estar seguros de que nuestras deducciones son correctas? Es decir, el programa de Hilbert, sgún cuentas en el libro, nació para evitar que volvieran a aparecer paradojas (Russell, Cantor, etc) en las Matemáticas. ¿Es realmente necesario restringirse tanto?

Saludos

Gustavo Piñeiro dijo...
Este comentario ha sido eliminado por el autor.
Gustavo Piñeiro dijo...

No solamente me refiero a los axiomas de la lògica, sino tambièn a los axiomas de la teorìa en sì misma. Por ejemplo, el axioma de inducciòn, tal como se lo enuncia usualmente, no es un enunciado de primer orden.

Por lo demàs, en su trabajo diario, los matemàticos adoptan implicitamente la postura pragmatica de aceptar que sus mètodos son consistentes, por lo que, excepto los lògicos, nadie se restringe realmente a trabajar con teorìas de primer orden.

Un saludo,

J.B. dijo...

Estupendo libro. Mi enhorabuena a los autores.
Hay un par de cosas que quiero comentar. Una se recfiere a lo que pme parece que es una incorrección en la definición de la verdad matemática (págs. 88 y ss. de la edición española). Si no lo entiendo mal, tal como parece desprenderse del axioma 4 más la regla de generalización, una fórmula con variables libres debe ser equivalente a su clausura universal. Pero la definición de verdad sólo garantiza eso para las fórmulas atómicas. Así Px y Qx son fórmulas atómicas, de acuerdo con la definición Px es verdadera exactamente en el caso en que lo sea #xPx (uso el símbolo # para representar el cuantificador universal, Qx si lo es #xQx y por tanto Px->Qx lo será si lo es #xPx->#xQx, no cuando lo sea #x(Px->Qx), que es lo que debería ser si toda fórmula equivale a su clausura universal. Parece que la cláusula 2.a debería absrcar todas las fórmulas con variables libres, de manera que la verdad de toda fórmula de tal tipo se redujera a la verdad de un conjunto de enunciados, cuya verdad se retrotraería, a su vez, a la verdad de otros enunciados más simples, con cláusulas similares a las dadas en la definición. ¿Me equivoco en algo, hya algo que se me escapa?
La segunda observación combina un par de cosas que aparecen en la página 166 y en la 169. En la primera se duice que el resultado de añadir ¬G (a la teoría) es consistente. En la segunda, que existen teorías consistentes pero omega-inconsistentes. ¿No sería adecuado observar que el resultado de añadir ¬G, al que se había hecho referencia, es precisamente un buen ejemplo de omega-inconsistencia? (no sé si se dice en algún otro sitio del libro). Creo que no sólo iñustra el concepto de omega-consistencia, sino que además ayuda a entender el significado del teorema de Gödel, porque ayuda a esclarecer qué clase de afirmación es la famosa G
Un saludo muy cordial,
J.B.

Gustavo Piñeiro dijo...

Gracias. Acerca de la definición de verdad matemática, ésta no se da solamente para fórmulas atómicas. Es una definición por inducción en la complejidad de las fórmulas que comienza con las fórmulas atómicas. La definición garantiza que P -> Q es verdadera si y sólo si #(P -> Q) lo es (hay que combinar 2c y 2d).

Un saludo,

Anónimo dijo...

¡Hola!

En un post antiguo respondiste:"La función seno se define mediante una serie, por lo tanto no se puede expresar en el lenguaje de primer orden de C. La teoría rescata los aspectos algebraicos de C, no los analíticos. Podríamos extender la teoría agregando como elemento primitivo la función seno, pero en ese caso probablemente ya no sea completa.

¿Y si definimos a través del concepto de limite y derivada: la función seno como y´´-y=0, mas las condiciones de contorno.

Saludos

Gustavo Piñeiro dijo...

En la ecuación y" - y = 0 la variable representa una función, por lo que no es expresable en un lenguaje de primer orden.

El hecho de que "Ser un número natural" no es expresable en la teoría de primer orden de C está bien establecido. Intentar buscar un contraejemplo es como intentar la cuadratura del círculo.

Un saludo,

Anónimo dijo...

Mi sorpresa no es esa, sino que entonces, las teorías que trata el libro de numeros complejos, excluyen por completo el analisis complejo, y su "subapartado" el analisis real, que pasarían a ser teorías en lógica de 2º orden. Pero si esto es así, no podemos, a pesar de las pretensiones de Hilbert, "escapar" del cálculo de predicados de 2º orden. ¿Hay algúna otra forma de hacerlo? Porque a estas alturas, no veo muy convincente que fisicos como yo , o otros científicos, creamos sea una pura casualidad teorías como la relatividad general (en la que por cierto, Gödel trabajó, ya sabrás, imagino) o la Física Cuántica. El teorema de Gödel es practicamente omnipresente en la MAtemática, al menos en la Matemática aplicada, ¿no?

Anónimo dijo...

Al hilo de lo que me dijiste ayer: una ecuación diferencial necesita logica de 2º orden para poder ser expresada formalmente. Entonces, ¿todo el analisis real y complejo, ha de emplear forzosamente, logica de 2º orden?

Y entonces, ¿que ocurre en cuanto a consistencia y categoricidad con respecto a los mismos?

Saludos

Anónimo dijo...

Lo que no llego a entender, es porque no se puede describir una función en un lenguaje de primer orden, por ejemplo, f(x,y)=3x+4y. Tenemos las constantes , los simbolos + y . y la posibilidad de crear funciones

Universo Paralelo dijo...

Hola

Viendo vuestras biografías me imagino viviréis en Argentina.

¿Es así? Estamos muy interesados en haceros una entrevista en una radio madrileña, en el programa de divulgación científica Universo Paralelo en radio círculo, la radio del Círculo de Bellas Artes de Madrid

Si alguna vez pasaís por Madrid avisar, ya que seria un placer charlar de este interesante libro y su contenido.

Un saludo

Oscar

Gustavo Piñeiro dijo...

Estimado Oscar,

Sí, vivimos en Argentina. Gracias por la invitación, la tendremos muy en cuenta.

Un saludo,

Universo Paralelo dijo...

Quedamos así.

A pesar de ser Radio Círculo una radio con una audiencia considerable, la radio es modesta por no basarse en la publicidad como medio de financiación (sólo cultura) y es complicado podamos realizar una entrevista telefónica amplia, como se merecería el tema.

No obstante, seguimos en contacto por si surge la oportunidad.

Un saludo desde Madrid y enhorabuena por el libro.

Oscar

J. Franfal dijo...

Hola, una consulta aunque no se si es conveniente o no hacerlas aquí, he visto en su blog que han hecho la presentación del libro en algunas instituciones educativas, me gustaría saber si eso es posible para instituciones del interior del país. Muchas gracias.

Gustavo Piñeiro dijo...

Hola,

Hablando, en principio, por mí mismo, (no sé cuál es la opinión de Guillermo) diría que no es imposible. Sería cuestión de ver si es factible ponerse de acuerdo en los detalles.

De todos modos no creo que éste sea el espacio adecuado. Mi mail es gbsgep@gmail.com

Un saludo,

J. Franfal dijo...

Ok muchas gracias.

Anónimo dijo...

Estoy leyendo las primeras páginas de libro, pero temo decir que hay cosas que no entiendo, como:¿qué es precisamente un axioma? ¿cómo un axioma infinito puede ser finito?

Gustavo Piñeiro dijo...

Hola,

Un axioma es un enunciado que se acepta como válido sin demostración.

Acerca de la segunda pregunta, si me enviara la frase exacta que motivó la pregunta (con la indicación de en qué página aparece) tal vez pueda aclarar la duda.

Un saludo,

Anónimo dijo...

Hola.
Estoy leyendo el libro y tengo unas dudas
¿Cómo un axioma o sistema de axiomas infinito puede ser finito? ¿Hay viceversa?

Gustavo Piñeiro dijo...

Vuelvo a decirle que si me enviara la frase exacta que motivó la pregunta (con la indicación de en qué página aparece) tal vez pueda aclarar la duda.

Anónimo dijo...

Gracias por responder qué es un axioma, pero en la página 33 dice que:" Dada una afirmación cualquiera, puede verificarse en una cantidad finita de pasos si esa afirmación es o no un axioma". Mi pregunta es:¿esta definición es correcta? Pregunto esto porque usted me contestó que un axioma es un enunciado que se acepta como válido sin demostración. Pero en la página 33 dice que hay que comprobarlo, entonces ¿un axioma tiene o no verificación?
En la página 34 dice que toda demostración a partir de un conjunto recursivo de axiomas puede corroborarse en una cantidad finita de pasos.¿Podría explicarme esas frase y qué es un axioma recursivo, además de las preguntas que están al princio de esta nota?

Gracias.

Gustavo Piñeiro dijo...

Hola,

Vayamos por partes.

1) Una propiedad referida a los números naturales es "recursiva" si, dado un número, se puede verificar mecánicamente en una cantidad finita de pasos si ese número verifica, o no verifica, la propiedad.

Por ejemplo, "ser primo", "ser par", son propiedades recursivas. Notemos que hay infinitos números pares, pero para cada número la verificación de si es par o no puede hacerse en una cantidad finita de pasos.

2) También puede hablarse de propiedades recursivas en relación a textos o secuencias finitas de símbolos. Por ejemplo, "tener tres letras" es una propiedad recursiva de las palabras del idioma castellano.

3) Un axioma, como dije antes, es un enunciado que se se acepta como válido sin demostración. Las teorías se basan en conjuntos (a veces finitos, a veces infinitos) de axiomas a partir de los cuales se demuestran teoremas.

4) La idea general del Programa de Hilbert era dar, para la Aritmética, un conjunto de axiomas que fuera a la vez recursivo, consistente y completo.

Recursivo: que fuera posible reconocer en una cantidad finita de pasos si un enunciado es, o no es, un axioma. (Como vimos más arriba para los números pares, esto no se contradice con el hecho de admitir que haya infinitos axiomas. Cada verificación se hace en finitos pasos, pero el número de axiomas se admite como posiblemente infinito.)

Consistente: que no permita demostrar al mismo tiempo un enunciado y su negación.

Completo: que, dado cualquier enunciado P, permita demostrar a P o bien a su negación.

5) La recursividad no es una propiedad de cada axioma, sino del conjunto de todos ellos. Otra forma de decirlo: un conjunto de axiomas es reursivo si es posible programar una computadora de tal modo que, si se le ingresa un enunciado, sea capaz de reconocer si ese enunciado es un axioma o no.

Si se cumple esa condición entonces sería posible programar una computadora de modo tal que si se le ingresa una sucesión de enunciados sea capaz de detrminar en una cantidad finita de pasos si esa sucesión constituye, o no, una demostración. Es decir, el conjunto de las demostraciones también sería recursivo.

Un saludo,

G.P.

Anónimo dijo...

Hola, de nuevo.
Disculpe que haga varias preguntas.
No entiendo cómo es que hay que reconocer en una cantidad finita de pasos si un enunciado es, o no es, un axioma; si un axioma es un enunciado que se acepta como válido sin demostración.
Gracias por contestar mis otras preguntas.

Gustavo Piñeiro dijo...

Por una parte, un axioma es un enunciado se acepta como válido sin demostración. Por otro lado, una condición que pide el programa de Hilbert es que exista un método de reconocer en una cantidad finita de pasos si un enunciado es un axioma o no (es sólo "reconocerlo como axioma", no "demostrarlo").

Anónimo dijo...

¡Muchas gracias por responder mis preguntas!

Gabriel Senno dijo...

Una consulta sobre la resolución del ejercicio 3.4:
Al intercambiar ¬P por P en ¬P->(P->Q) para concluir que P->(¬P->Q), ¿se esta implícitamente usando que P es equivalente a ¬¬P?

Gustavo Piñeiro dijo...

Hola Gabriel,

Sí, así es. Es importante destacar que esa equivalencia puede probarse sintácticamente.

Un saludo,

Gonzalo dijo...

Hola

en primer lugar mis felicitaciones a los autores. Estudié fisica teórica en la Universiad Autónoma de Madrid. Mi interés está siempre a caballo entre la física teórica y algunas ramas de las matemáticas. El teorema de Gödel me parece una de las construcciones intelectuales más bellas realizadas hasta la fecha. Tiene la singular (y muy postmoderna a pesar de todo, por cierto) característica de que resulta casi tan espectacular el "qué" como el "cómo". Estoy totalmente de acuerdo con una de las tésis de su libro, en el sentido de que los descubrimientos de Gödel comportan una carga intelectual de efectos aún no conocidos en su totalidad, y quizás haya de pasar algún tiempo aún. A continuación el motivo de este post. Se trata de una duda que tengo hace tiempo e intento explicarles. El teorema de Gödel constituye una afirmación que sabemos es cierta y a la vez indemostrable. Por ello, echó por tierra los esfuerzos de Russell, Whitehead y otros por construir una axiomatización definitiva, consistente y completa. Sin embargo, en la bibliografía más bien divulgativa que yo conozco, no encuentro ejemplos de teoremas verdaderos e indemostrables, más allá del propio teorema de Gódel, o sus clones si es que incluimos aquel como axioma. Dicho de otro modo, si todos los teoremas verdaderos e indemostrables, en sistemas axiomatizados conteniendo la aritmética, son el teorema de Gödel (y eventualmente sus clones), no habría que preocuparse tanto. Más bien podríamos estar muy contentos de que la axiomatización de Russell-Whitehead es completa excepto por la "excepción patológica" gödeliana. ¿Se sabe de otros teoremas verdaderos e indemostrables?
Muchas gracias

Gustavo Piñeiro dijo...

Estimado Gonzalo,

Ante todo, muchas gracias. Acerca de tu pregunta, primero que nada hay que entender que "demostrable" o "decidible" son términos relativos. Un enunciado puede ser indecidible a partir de ciertos axiomas, y al mismo tiempo decidible a partir de otros axiomas.

Si, por ejemplo, nos referimos al más conocido de los sistemas de axiomas de primer orden para la Aritmética, los Axiomas de Peano de primer orden, el Teorema de Gödel dice que hay verdades aritméticas (expresables en el lenguaje de primer orden de la teoría) pero que son indemostrables a partir de esos axiomas (supuesto que los axiomas de Peano sean un sistema consistente).

La demostración del Teorema de Gödel nos dice cómo construir un tal enunciado indecidible. Tu pregunta, entiendo, es si existen otros enunciados de los que se sepa que son indecidibles para los axiomas de Peano de primer orden, pero que no se deriven directa o indirectamente de la demostración de Gödel.

La respuesta es que sí, existen enunciados así. Algunos, inclusive, son bastante fáciles de expresar. Ahora mismo no tengo a mano ningún ejemplo, pero en breve trataré de darte algún enunciado indecidible (con respecto a los axiomas de Peano de primer orden) en concreto.

Gracias nuevamente. Un saludo,

Gustavo Piñeiro dijo...

Hola nuevamente:

En ese enlace: http://delta.cs.cinvestav.mx/~gmorales/complex/node113.html

hay una referencia al Teorema de Goodstein, una afirmación aritmética demostrable a partir de la Teoría de Conjuntos (y, por lo tanto, "verdadera" si se acepta la verdad de estos axiomas), pero indemostrable a partir de los axiomas de Peano.

Otro ejemplo de afirmación indecidible (que podría haber citado en el comentario aanterior, pero se me pasó por alto) es la Hipótesis del Continuo, que Gödel y Paul Cohen demostraron que es indecidible a partir de los axiomas de Zermelo-Fraenkel.

Un saludo,

Gonzalo dijo...

Estimado Gustavo,

muchisimas gracias por tu pronta respuesta.
Soy de digestión lenta, y además atravieso unos días complicados por decirlo suavemente, así que de momento solo escribo para devolver acuse y dar las gracias.

Un saludo,

Gonzalo

Anónimo dijo...

ante todo felicitaciones y esas cosas que se dicen aunque poco, como a veces un simple gracias.
sigo bastante a gödel, o sus rastros...
me interesan eso sí, desde sus teoremas, llegar a algo que vislumbra y que va más allá y que me cuesta nombrar y entender (aunque no sentir)
al respecto me gusta bastante este texto bastante deshecho que pillé por ahí: http://vian-ordenarlabiblioteca.blogspot.com/2010/10/almuerce-tranquilo-amigo-godel.html
ahora mi pregunta, y creame que no es por molestar, sino para pedir una opinión sincera:
¿hacia donde cree que iba gödel? ¿Cuál era su interés último, el propósito que estaba más allá de sus teorías?
(leo su libro y siento que se analizan/explican todas las piezas excelentes,pero me gustaría complementar aquello...)
Valentina

Gustavo Piñeiro dijo...

Hola,

Muchas gracias. Acerca de la pregunta, de manera inmediata Gödel buscaba responder a la pregunta de si el Programa de Hilbert era realizable o no (la respuesta es que no es realizable).

Por otra parte, en un sentido más profundo, Gödel buscaba a través de sus teoremas argumentos matemáticos que sustentaran la postura filosófica según la cual las teorías axiomáticas describen una realidad objetiva cuya existencia es independiente de la mente humana. Gödel habla de esta cuestión en la "Conferencia Gibbs", de 1951 (que puede descargarse desde este mismo blog). Desconozco si Gödel tenía en mente esta posible "aplicación" del teorema desde el mismo momento de demostrarlo o si fue una idea que se le ocurrió posteriormente.

Gracias nuevamente. Un saludo,

Anónimo dijo...

Hola

Si añadimos el axioma no CONS(PA)a PA, entonces nos queda en la nueva teoría que hay un número para el cual la sentencia G, "yo no soy demostrable" se podría demostrar. Creo que en este caso, el número que formaliza la demostración es no estandar, pero la demostración está ahí. No entiendo si quizás haya que cambiar la interpretacion de CONS (PA),y si hay que hacerlo , cuál sería ese nuevo significado para la sentencia no CONS(PA)

Gustavo Piñeiro dijo...

Hola,

Sucede que en el caso que planteás G ya no significaría "yo no soy demostrable". O bien G tendría un significado completamente diferente, o bien ningún significado en absoluto expresable en términos de enunciados demostrables o no demostrables. La demostración de G, entiendo, tendría asignada un número estándar, como las demás.

Acerca del significado de CONS(PA), vale lo mismo que lo dicho más arriba para G.

Tal vez te ayude leer los comentarios publicados en esta misma entrada el 11 de septiembre de 2010, a las 6:29, 7:41, 10:18 y 10:47 respectivamente.

Un saludo,

Anónimo dijo...

Hola de nuevo. A ver si lo he entendido, ¿se podría decir que
Cada vez que añadimos a una teoría A , la negación de un enunciado verdadero pero no demostrable en esa teoría A , y llamamos B a esta nueva teoría, la "demostración" de ese enunciado falso , consecuencia de negar un enunciado verdadero, "tiene" un número de Gödel no estandar

Gustavo Piñeiro dijo...

No. Por de pronto, "verdadero" o "falso" son, en este contexto, conceptos irrelevantes, sólo nos interesan los conceptos de "demostrable" o "no demostrable", que son sintácticos y, por lo tanto, independientes de cualquier significado que se les atribuya a los signos.

Cuando definimos la codificación de Gödel (definición que se hace sintácticamente y que es previa a todo el proceso de construcción del enunciado indecidible), a TODA secuencia de fórmulas se le atribuye un número natural (estándar). Esta asignación se hace antes siquiera de considerar ningún axioma.

El código de una secuencia de fórmulas (una vez que se ha definido una codificación) es intrínseca de la secuencia, mientras que el hecho de que una secuencia de fórmulas sea, o no, una demostración depende de qué axiomas y reglas de inferencia consideremos. Igual que "demostrable", el concepto de "demostración" es relativo.

Si el enunciado P es demostrable a partir del conjunto A de axiomas entonces existe una secuencia de fórmulas que constituyen una demostración de P a partir de A y esa secuencia, esa demostración de P, ya tenía asignado un código (un número natural estándar) desde antes siquiera de considerar el conjunto A.

Por lo tanto, a toda demostración (de cualquier enunciado a partir de no importa qué axiomas) le corresponde, por la codificación, un número natural estándar (y, de hecho, efectivamente calculable).

Raúl dijo...

A ver si lo he entendido:

Cada vez que añadimos a un modelo A , la negación de un enunciado verdadero pero no demostrable en ese modelo A , y llamamos B a esta nueva teoría, la "demostración" de ese enunciado falso , consecuencia de negar un enunciado verdadero, "tiene" un número de Gödel no estandar, ¿es así?

Gustavo Piñeiro dijo...

No, no es así. Ya lo expliqué en la respuesta anterior.

Raúl dijo...

Algo que no entiendo muy bien:

Hay sentencias que son indemostrables en una teoría, por tanto hay modelos donde ese resultado sea cierto, y otros en los que no. Pero por ejemplo, añadamos a la teoria T (cuya consistencia no es demostrable, pero la suponemos consistente , como se hace habitualmente con PA o ZFC) el enunciado "CONS(T)", o cualquier otra afirmación que sea válida en general, como la consistencia de una teoría a partir de unos axiomas, o la sentencia de Gödel,aquí la consistencia de la teoría T no es algo que dependa de un modelo, sino que es (supuestamente) verdadero en general, bajo los axiomas de T. Pero en vez de CONS (T); podríamos haber añadido no CONS(T): dado que cons (T) no es demostrable, podemos añadir el enunciado que niega tal consistencia,es decir, otro modelo donde CONS (T) es falso.Sin embargo la sentencia CONS(T) ha de ser siempre verdadera (asumiendo que nuestra teoría es consistente, como s ehace por ejemplo en ZFC, aunque no hay prueba de ello), ¿qué pasa con estos modelos donde CONS (T) es falsa, o cualquier otra afirmación que sabemos o suponemos cierta pero que no es demostrable, tambien sea falsa, hay dices que hay que cambiar la interpretacion de CONS (T), quedandonos solo modelos no estandar, ¿es así?SI es así, ¿como sabemos a priori la interpretación que se le tiene que dar a los axiomas a partir de los postulados, y qué modelos son adecuados y cuales no?

Cada vez que añadimos a un modelo A , la negación de un enunciado verdadero pero no demostrable en ese modelo A , y llamamos B a esta nueva teoría, la "demostración" de ese enunciado falso , consecuencia de negar un enunciado verdadero, "tiene" un número de Gödel no estandar, ¿es así?

Gustavo Piñeiro dijo...

Creo que te ayudará leer el comentario que publiqué el 11 de febrero de 2011 a las 22:11 y los comentarios que allí menciono.

Gracias. Un saludo,

Anónimo dijo...

Hola

Entonces, la consistencia de una teoría , CON (T), es verdadera o falsa dependiendo del modelo que se use?

Gustavo Piñeiro dijo...

No, no es así.

En unos días trataré de redactar una explicación más extensa para ver si puedo resolver esta duda recurrente.

Ricardo dijo...

Buenas, mi nombre es Ricardo Da Silva, soy de Venezuela, estudio filosofía y estoy ya trabajando sobre mi tesis que va ser sobre el teorema de incompletitud de Gödel y algunas de sus consecuencias filosóficas, es por ello que su hice hasta lo imposible para mandar a pedir su libro en el extranjero y efectivamente me ha sido de mucha utilidad y quiero felicitar a los autores por el libro, es un hermoso libro, con una forma muy elegante de plantear los temas y problemas, y creo que es una característica muy notable que el libro exija progreso a medida que se avanza (así como la lógica y la teoría de conjuntos exigen el mismo progreso edificante).

Más que una pregunta, quisiera plantear un comentario sobre algo que ustedes escriben en el cap. 1, sección 10 (la pagina 38 de la edición española), ustedes dicen:
“Es cierto que para los lógicos de principios de siglo pasado 8y sobre todo para los logicistas como Bertrand Russell, Ernst Zermelo, o el propio David Hilbert) el teorema de Gödel fue algo inesperado…”

Ustedes quieren decir que Zermelo y Hilbert son también logicistas como Russell, y planteo la interrogante porque tengo entendido, que Hilbert como padre de la metamatemática es un constructivista, que usa el aparato lógico de PRINCIPIA, pero nunca había escuchado decir que era un logicista, al igual que Zermelo siempre lo tome por un platinista moderado que estaba a favor de los métodos constructivistas.

Ahora bien, pudo haber ocurrido que entendí mal, pero si no es el caso, me gustaría me explicaran por qué dicen que son logicistas Zermelo y Hilbert.

Otro comentario es si ustedes creen que para Frege o Russell la lógica era de segundo orden o de primer orden.

Gracias por su tiempo.
Un abrazo desde Venezuela y gracias por acercarnos al pensamiento de Gödel con su libro.

Gustavo Piñeiro dijo...

Estimado Ricardo,

Ante todo, muchas gracias.

Acerca de la primera pregunta, parece haber un error en la redacción de la frase, tal como está en el libro. Frege y Russell eran logicistas (en el sentido de que creían que toda la Matemática podía deducirse de la Lógica pura).

Hilbert era formalista, esto significa que limitaba el constructivismo a la Metamatemática, pero no exigía que los objetos matemáticos en sí fueran constructibles (exigencia que sí hacía los "verdaderos" constructivistas, como Brouwer y Heyting).

Sobre Zermelo, tengo la impresión de que sí era un platonista que adhería a los métodos del formalismo (no a los métodos constructivistas, que son mucho más restrictivos).

Sobre la segunda pregunta, Frege y Russell uasaban una lógica de segundo orden (el Axioma de Reductibilidad de Russell es claramente de segundo orden). La distinción entre lógicas de primer y de segundo Orden recién tomó importancia cuando comenzó a estudiarse el Programa de Hilbert, que sólo admite teorías de primer orden.

Un abrazo,

G.P.

Anónimo dijo...

Hola gente. Ante todo felicitaciones a guillermo martinez por la pelicula (no lei el libro) "los crimenes de oxford",excelente. Yo queria hacer una pregunta/comentario. Lei "el tio petros y la conjetura de goldbach" y decidi por eso comprar "godel para todos".Estoy tratando de leerlo, pero entre mi atropellamiento caracteristico y mi falta de conociminetos sobre matematicas no se si voy a decir una brutalidad. Sepan disculparme; nadie nace sabiendo. Segun el libro del tio petros, Turing demuestra que es imposible saber si un teorema es indecidible. La unica forma de demostrar que un problema tiene solucion es demostrandolo; hasta entonces es imposible saber si es demostrable o no. Pero eso significaria que no hay teoremas indecidibles identificados (sin embargo ustedes señalan varios: Halting, Rice, el decimo de Hilbert,etc.)¿No ese llibro una mala interpretacion del Entscheidungsproblem (en castellano: problema de decisión)? Creo que en realidad turing demostro que no se pueden separar de una sola vez los teoremas indecidibles de los decidibles, sino que hay que abordar cada afirmacion por separado para saber si es correcta, incorrecta o indecidible. ¿Esta bien lo que dice "el tio petros" o es un error? si es un error toda afirmacion tiene una respuesta demostrable (verdadera, falsa o irresoluble; pero respuesta demostrable al fin) Nuevamente: ¿es cierto lo que dice el libro?¿Existio Petros Papachristos o es un invento para escribir un libro? Dsiculpen si digo una burrada

Gustavo Piñeiro dijo...

Hola,

Turing demostró que no existe un algoritmo que determine en forma general si un enunciado es demostrable o no, pero sí se puede determinar para algunos enunciados específicos.

Un saludo,

Abel dijo...

Hola, Gustavo.
En las versiones que circulan por internet de la memoria original de Gödel, el axioma de inducción completa está escrito de la siguiente forma:

(X(0) & (X(x) --> X(x'))) --> (x) X(x)

donde x es una variable con rango en los naturales, y X una variable con rango en clases de naturales.

¿Significa esto que Gödel empleó lógica de segundo orden?

Gracias de antemano.

Saludos

Gustavo Piñeiro dijo...

Hola,

La lógica es de primer orden. el esquema de inducción no es un único axioma en el que X es una variable (tal sería el caso en una lógica de segundo orden), sino que es un esquema en el que los sucesivos axiomas se obtienen reemplazando X por todas las fórmulas de primer orden del lenguaje.

Un saludo,

Unknown dijo...

Hola,
Acabo de escribir un comentario bastante largo y no estoy seguro si ha sido recibido debido a un problema de envio. Pueden por favor confirmar? Gracias y disculpen la molestia.
Marcelo Epstein

Gustavo Piñeiro dijo...

Estimado Marcelo,

El comentario largo no llegó.

Un saludo,

Unknown dijo...

Gracias por tomarse el trabajo de contestar a tantas preguntas de lectores. Aquí va mi mensaje anterior que sea ha perdido y que trato de reproducir de memoria. Tengo esencialmente tres preguntas:
1. Los complejos (como pares ordenados de reales, éstos como cortaduras de racionales, éstos como clases de equivalencia de pares ordenados de enteros) son en última instancia reducibles a los naturales. El teorema fundamental del álgebra puede demostrarse, creo, por medio del análisis sin utilizar cosas como el axioma de elección o la hipótesis del continuo. En tal caso, el sistema de axiomas estipulado en la página 51 podría deducirse, aparentemente de los axiomas de Peano o alguna otra axiomatizacioon finita de la aritmética natural. ¿Es esto correcto o estoy haciendo un error de razonamiento? La razón por la cual pregunto esto es que el sistema de la página 51 es completo y, por lo tanto, la respuesta a mi pregunta debe necesariamente ser negativa.
2. El último teorema de Fermat ha sido demostrado por medio de resultados profundos del análisis complejo. Si estos resultados son a su vez obtenibles finitisticamente a partir de la aritmética de los números naturales, no tengo nada que preguntar. Pero supongamos que, considerando que la respuesta a mi pregunta anterior pudiera ser negativa, los resultados del análisis complejo involucren ese algo más que se necesitaría. En tal caso, el teorema de Fermat no ha sido demostrado dentro del marco de los números naturales. Lo único que sabemos es que el teorema es cierto. ¿Es esto así?
3. Por último, me gustaría, por motivos de mi propia educación, leer alguna referencia donde se demuestre que el sistema de axiomas de la página 51, es recursivo y completo.
Muchas gracias,
Marcelo Epstein
Canadá

Gustavo Piñeiro dijo...

Estimado Marcelo,

1. "Los complejos (como pares ordenados de reales, éstos como cortaduras de racionales, éstos como clases de equivalencia de pares ordenados de enteros) son en última instancia reducibles a los naturales."

Hay que tener en cuenta que estamos hablando de teorías de primer orden. Las cortaduras no son definibles en la teoría de primer orden de los naturales. Sí se podrían definir en el contexto de alguna teoría de conjuntos de primer orden.

"El sistema de axiomas estipulado en la página 51 podría deducirse, aparentemente de los axiomas de Peano o alguna otra axiomatizacioon finita de la aritmética natural."

Esto no es así, ya que los axiomas de la página 51 son enunciados falsos si los entendemos como referidos al universo de los números naturales.

2. Sí, es así. Hasta donde sabemos, el Teorema de Fermat podría no ser demostrable a partir de los axiomas de Peano. (Pero sí demostrable a partir de otra axiomatización finita y recursiva).

3. Por ejemplo, en el libro de Chang y Keisler citado en la bibliografía.

Un saludo,

E. dijo...

Estimados profesores,

muchas gracias por mantener esta original y provechosa web de preguntas y respuestas.

1. Si hay una traducción directa entre una fórmula expresada en la numeración de Gödel y la misma expresada en los símbolos usuales, entonces el propio teorema de incompletitud de Gödel será expresable "traducido", sin números de Gödel.
Pero entonces ¿es o no es imprescindible dicha numeración para expresar el teorema?

2. En el artículo denominado "Numeración de Gödel" en wikipedia en castellano, en apartado "2.4 Una demostración informal" hay una brevisima demostración del teorema de incompletitud que me parece diferente, más sencilla, y me gustaría saber si les parece válida.

Gonzalo Marín

Gustavo Piñeiro dijo...

Estimado Gonzalo,

La numeración de Gödel no es necesaria para enunciar el teorema, pero sí es esencial en la demostración que hizo Gödel. Por otra parte, en este enlace http://eltopologico.blogspot.com/2005/12/gdel-y-turing-parte-1.html
aparece una demostración que no usa una numeración de Gödel para los enunciados (aunque sí usa una codificación para las máquinas de Turing).

Sobre la demostración de Wikipedia, en realidad no es una demostración en sí, sino un esquema de la demostración de Gödel, no muy diferente de la que en el libro llamamos la "versión semántica" del teorema.

Un saludo,

Anónimo dijo...

Buenos días,

la reseña en el diario Público a la que enlazan en su blog no es de Rodrigo Fresán sino de Javier Fresán, y pueden acceder a una versión en pdf (mucho más bonita) en la web del autor:

http://jfresan.files.wordpress.com/2010/03/teoremagodel.pdf

Gracias

Abel dijo...

Hola, Gustavo,
tengo entendido que no es posible detectar mediante un algoritmo las sentencias indecidibles de un sistema. Pero ¿hay una demostración formal de eso?

Saludos!

Abel

Gustavo Piñeiro dijo...

Sí.

Abel dijo...

Gracias por la respuesta, Gustavo.
¿Podrías darme alguna pista más, como para buscar en internet?

Gracias de antemano.

Saludos

Gustavo Piñeiro dijo...

Disculpas, pero no tengo mucho para aportarte. Ni siquiera estoy seguro de quién fue que lo demostró por primera vez (creo que fue Turing, aunque no estoy seguro.

Un saludo,

José Hdz. Stgo. dijo...

Hola,

Vivo en México. ¿Cómo podría conseguir desde aquí un ejemplar de este atractivo texto? ¿Alguna idea o sugerencia?

Saludos y gracias por pasar por mi blog.

Cordialmente,

J. H. S.

Gustavo Piñeiro dijo...

Ni idea.

Gustavo Piñeiro dijo...

Me quedé pensando en la pregunta de Abel (tres o cuatro comentarios atrás) y se me ocurre una idea para demostrar que el problema de determinar si un enunciado P es decidible con respecto a una teoría T no es resoluble algorítmicamente.

Hagamos la demostración por el absurdo. Supongamos que sí hubiera un algoritmo A que resuelve ese problema. Sean T una teoría "que contiene suficiente aritmética" y CON un enunciado que expresa (en cierto nivel de lectura) la consistencia de T.

Recordemos que el Teorema de Consistencia (o Segundo Teorema de Gödel) dice que si T es consistente entonces CON es indecicible con respecto a T.

Apliquemos el algoritmo A para determinar si CON es decidible con respecto a T. Si la respuesta de A es que el CON decidible, entonces T es inconsistente (por el Segundo Teorema). Si la respuesta es que A es indecidible entonces T es consistente (porque sólo las teorías consistentes admiten enunciados indecidibles).

Por lo tanto, si A existiera tendríamos un algoritmo que permite determinar si una teoría es consistente, o no. Pero, una consecuencia del segundo Teorema de Gödel dice que tal algoritmo no puede existir. Absurdo. Por lo tanto A no existe.

Gustavo Piñeiro dijo...

Fe de erratas:

En el comentario anterior, donde dice:

Si la respuesta de A es que el CON decidible, entonces T es inconsistente (por el Segundo Teorema). Si la respuesta es que A es indecidible entonces T es consistente (porque sólo las teorías consistentes admiten enunciados indecidibles).

Debe decir:

Si la respuesta de A es que CON es decidible, entonces T es inconsistente (por el Segundo Teorema). Si la respuesta de A es que CON es indecidible entonces T es consistente (porque sólo las teorías consistentes admiten enunciados indecidibles).

Eduardo Guariglia Marquez dijo...

Se asegura que la demostración de Gödel probó la incompletitud en la demostración de Bertrand Russell y Afred North Whitehead en la "Principia Mathematica"--de la posibilidad de referir la matemática a la LOGICA --(quedo pendiente referir tambien la Geometría)--//¿cómo es esto?//---¿son acaso el lenguaje y la matemática teritorios estancos-
O MEJOR COMPLEMENTARIOS--donde la Matemática da PRECISIÓN al LENGUAJE---

Abel dijo...

Hola, Gustavo,
buenísima la demostración de la inexistencia de un algoritmo para determinar si un enunciado es indecidible. Muchas gracias.
Una inquietud: estoy inscripto como seguidor del blog, pero no recibo notificaciones. ¿Faltará hacer algo más?

Saludos!

Gustavo Piñeiro dijo...

Sobre esas cuestiones técnicas no tengo idea. Disculpas. Un saludo,

míself dijo...

Me cuesta mucho en "La teoría de conjuntos de Zermelo-Fraenkel" distinguir claramente cuándo se están refiriendo a conjuntos y cuándo a elementos... el símbolo "pertenece" no está limitado para los elementos, y cuando uno hace referencia a conjuntos, tiene que usar el símbolo "incluido en" o algo así? ya me estoy mareando. Perdon por la consulta y gracias.

Gustavo Piñeiro dijo...

En la teoría de Zermelo-Fraenkel no existe la distinción entre "conjunto" y "elemento". Todos los objetos son "clases" y algunas clases son elementos de otras clases mayores. A las clases que son elementos de otras clases mayores se las llama "conjuntos".

Por ejemplo, los números naturales se definen de esta manera: 0 es el conjunto vacío, 1 = {0}, 2 = {0,1}, etc. Si llamamos w al conjunto de todos los números naturales, entonces:
1 pertenece a w
{1} está incluido en w
{1} pertenece a partes de w
2 pertenece a w
también 2 está incluido en w (porque 2 = {0,1})

El tema es demasiado extenso como para resumirlo en la entrada de un blog. Una exposición introductoria puede leerse en http://es.wikipedia.org/wiki/Axiomas_de_Zermelo-Fraenkel

Un saludo,

Anónimo dijo...

El ejercicio 1.4. es bastante embrollado. Aún siendo matemático me costó entender la demostración.

Yo sugeriría simplemente que "la unión numerable de conjuntos numerables es numerable". Esta es la clave. La utilizazión del método del corte diagonal de Cantor oculta justamente esta idea.

Haciendo explícita la idea anterior se consigue que la demostración sea más clara para el lector.

El método nunca debe oscurecer el objetivo.

Gustavo Piñeiro dijo...

Estimado Anónimo,

Ante todo, gracias por el comentario.

Usted, como matemático, sabe que la unión de una familia numerable de conjuntos numerables es numerable (demostración que suele hacerse, precisamente, por el método diagonal de Cantor). Pero esa parte del libro está dirigida a lectores no matemáticos que no tienen por qué conocer ese hecho.

De modo que usamos la diagonal de Cantor para demostrar, en el caso particular que allí se exhibe, que la unión de conjuntos numerables es numerable (aunque el hecho no se enuncia en toda su generalidad ya que entendemos que no aportaría nada esencial al lector no matemático).

La pureza de una prístina y minimalista exposición matemática debe ceder, en este caso, ante una exposición explícita del método.

Gracias nuevamente. Un saludo,

Gabriel Baglietto dijo...

Hola. Antes que nada les agradezco la existencia de este libro. Siempre tuve curiosidad por este teorema y buscaba algún lugar donde encontrar una demostración accesible.

Acabo de llegar a la página 149 del libro y tengo dos dudas.
La primera es: ¿Al DEMOSTRAR por el absurdo que G es verdadero no se incurre en una contradicción con lo que el propio enunciado dice que es que es INDEMOSTRABLE? En otras palabras ¿no es como una reedición de la paradoja del mentiroso?

La otra duda está en la formulación misma del enunciado autorreferencial G.
n es el número de Gödel de: "no existe x(x Dem d(y))"
El punto es que "n" (un número determinado) e "y" (una variable indeterminada) se representan mediante diferentes números de Gödel. Como las representaciones de Gödel se dan por concatenación, para poner el número que representa a G adentro de G debería proceder infinitamente a poner G adentro de G y el enunciado autorreferencial terminaría siendo de longitud infinita, por lo cual no se podría verificar recursivamente.

Bueno eso es todo.
Perdonen si la preguntas son repetidas con las de otros lectores. En ese caso ¿me podrían indicar en qué parte del blog leer?
Nuevamente muchísimas gracias por el libro y también por el blog.

Gustavo Piñeiro dijo...

Estimado Gabriel,

Gracias. Acerca de las preguntas. En realidad no hay paradoja. Dado un sistema de axiomas, la demostración de Gödel indica cómo escribir un enunciado cuya traducción es "Yo no soy demostrable". Aunque, más exactamente, la traducción es "Yo no soy demostrable a partir de esos axiomas".

Por lo tanto, dado un sistema de axiomas, G es verdadera, pero no demostrable a partir de esos axiomas en particular, lo que no impide que sí sea demostrable a partir de otros axiomas diferentes.

(Nótese que hay un enunciado G diferente para cada sistema de axiomas que se proponga.)

En cuanto a la segunda, G no contiene explíctamente a su número de Gödel (en ese aspecto, hay en el libro algún error de notación, la d(n) no debería aparecer en negrita cuando se reemplaza dentro de G.)

Lo explicaré con una metáfora. Supongamos que el código de G fuese el número 1.000.000.000.000. Entonces G podría decir "El enunciado cuyo código es un uno seguido de doce ceros no es demostrable", por lo que G habla de su propio código sin mencionarlo explícitamente. Más en concreto, en P(d(n)) no se menciona explícitamente el número d(n) sino que se describe el algoritmo que calcula el valor de la función diagonal en n.

Un saludo,

G.P.

Gabriel Baglietto dijo...

Hola Gustavo, gracias por responder. Lamentablemente no puedo acceder a leerla. Probe con dos navegadores distintos y el link no me lleva a la respuesta sino que me vuelve a la misma pagina. Sería un link autorreferencial, digamos.
Saludos
Gabriel

Gustavo Piñeiro dijo...

Hacé lo mismo que hiciste para escribir el comentario. Te aparecerá la lista de todos los que se han escrito.

Gabriel Baglietto dijo...

Ahora si! Gracias! voy a meditar las respuestas y releer el libro.
Saludos
Gabriel

Abel dijo...

Hola, Gustavo,
en el libro aparece citada la demostración de Boolos basada en la paradoja de Berry; ahora bien, si se adopta la proposición indecidible de Boolos como axioma ¿se puede construir una nueva prop indec como en el caso basado en la paradoja del mentiroso?

Gracias de antemano

Saludos

Abel

Gustavo Piñeiro dijo...

Cuando se agrega, a modo de nuevo axioma, una proposición indecidible se crea un nuevo sistema de axiomas que está en las mismas condiciones iniciales que el anterior, por lo que la respuesta es sí.

Anónimo dijo...

En el último número (que me llegó) de Investigación y Ciencia, Agustin Rayo (Prof. de filosofia del MIT hace una descripción del Teorema de Goedel que me parece que es incorrecta. Me gustaría conocer su opinion.


h_rabal_geb@yahoo.com

Gustavo Piñeiro dijo...

Estimado Anónimo,

No he leído el mencionado artículo.

Un saludo,

G.P.

Abel dijo...

Hola, Gustavo,
luego de varios años, el libro sigue suscitándome inquietudes e interrogantes.
Ahora el tema es la CONCATENACIÓN. En el libro se dice que si en un sistema es definible esa función, entonces es posible la autoreferencia, y por lo tanto, la incompletitud.
Deduzco desde ya que en los complejos y los campos reales no es definible, puesto que estos sistemas son completos. Pero a primera vista, parece ser posible concatenar reales o complejos.
¿Dónde está el error?
Gracias de antemano.

Saludos!

Gustavo Piñeiro dijo...

La clave está en la palabra "definirse"; la concatenación debe poder definirse en el lenguaje de primer orden de la teoría, lenguaje que tiene restricciones muy específicas. Por ejemplo, en la aritmética de primer orden el producto no es definible a partir de la suma, es decir, la expresión "n.m es n+n+...+n m veces" no es traducible al lenguaje formal de primer orden. De la misma forma ninguna concatenación de los complejos es expresable en el lenguaje de primer orden de su teoría.
Un saludo,

Abel dijo...

Gustavo, entiendo lo que dices, pero me surgen otras dudas. En el caso de los naturales, ¿dónde está usada la concatenación en la sentencia de Gödel?

Saludos!

Gustavo Piñeiro dijo...

El enunciado de Gödel, (en realidad una posible traducción al lenguaje coloquial del enunciado de Gödel), llamémoslo G , dice: "El código de este enunciado es el código de un enunciado no demostrable". La concatenación se usa para establecer cuál es el código de un enunciado (y por lo tanto aparece en G cuando éste es escrito en el lenguaje formal de la aritmética) y es también esencial para demostrar que la propiedad "Ser el código de un enunciado demostrable" es definible en el lenguaje de primer orden.

Un saludo,

Abel dijo...

También pienso en lo siguiente:

La suma de dos números complejos está dada del siguiente modo:

(a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d) i

Ahora bien, (a + c), la suma de reales, en la práctica contiene implícita la concatenación. Sumo las últimas cifras de cada aproximación racional de los reales, la escribo como última cifra del resultado, si es mayor que 9, sumo 1 a la suma de las anteúltimas de cada real, y concateno el resultado a la izquierda del resultado de las últimas cifras, y así recursivamente.
Si uno quiere adaptar el axioma de Peano de la suma a los reales, también hay que concatenar el signo que representa a "siguiente" a la izquierda.
No veo cómo prescindir de la concatenación en los reales/complejos sin dejar a la suma sin definición práctica.

Saludos!

Gustavo Piñeiro dijo...

"Definición práctica" no es lo mismo que "definición en lenguaje de primer orden" y es éste último tipo de definición el único que cuenta para el teorema de Gödel.

Un saludo,

Abel dijo...

Entiendo, pero de alguna manera los axiomas tienen que permitirme demostrar que existe un número real R que es igual a PI + RAÍZ CUADRADA DE 2, calcularlo efectivamente y construir con él un número complejo Z=R+Ri.
Además, ¿cómo EVITAR reproducir la proposición indecidible, si todo el aparato teórico de los naturales está incluído en los complejos?

Saludos!

Gustavo Piñeiro dijo...

1) Los axiomas de primer orden de los complejos no permiten demostrar la existencia de pi, que es un número trascendente. Desde luego, no estoy diciendo que pi no exista o que su existencia no pueda ser demostrada a partir de axiomas y/o sistemas deductivos adecuados.

2) La última pregunta ya fue respondida varias veces en estos comentarios.

3) Si estás intentando demostrar que en la teoría de primer orden de los complejos se puede definir una concatenación no vas a lograrlo, es imposible.

4) Si tu interés en el tema es tan grande, creo que te conviene leer algún texto de lógica, es muy difícil abundar en explicaciones en los comentarios de un blog.

Un saludo,

Abel dijo...

Sí, tu respuesta fue 'El hecho de que "Ser un número natural" no es expresable en la teoría de primer orden de C está bien establecido'. Pero la sentencia de Gödel puede ser interpretada en el sistema complejo sin tener que definir los naturales.
2+2=4 es válida también en los complejos, sin definir "número natural".
Un ejemplo de Guillermo Martínez: "El 35 concatenado con el 698 es el 35698, porque 35*1000+698 = 35698". ¿Esta última ecuación no es demostrable también en C? ¿Por qué tengo que demostrar primero que los números involucrados son naturales?

Demo C: (35+ 0i) * (1000 + 0i) + (698 + 0i) = (35698 + 0i)
<==> Demo N: 35*1000+698 = 35698

Conozco muchos textos de lógica. El tema es que Uds. sostienen en su libro que la concatenación es necesaria y suficiente, y que es lo original y propio del libro. De modo que no está en otros libros de lógica.

Disculpa las molestias.

saludos

Gustavo Piñeiro dijo...

1) Aunque N está contenido en C la teoría de primer orden de N no está contenida en la teoría de primer orden de C. La traducción al lenguaje de primer orden de "2 es primo" es demostrable en N, pero en C.

2) La definición de la concatenación en base a la función Long(x) no es expresable en C, porque Long(x) necesita que sea definible "la menor potencia de 2 CON EXPONENTE NATURAL que sea mayor que x". Pueden expresarse "concatenaciones particulares", pero no una definición general.

3) Afirmamos que una concatenación es suficiente (en realidad, para la aritmética, la afirmación ya la hizo Quine en 1965) y conjeturamos que es también necesaria, al menos bajo ciertas condiciones generales.

Un saludo,

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