La autorreferencia en la demostración de Gödel

En los últimos tiempos he visto que hay algunas dudas que aparecen recurrentemente en los comentarios del blog. Por ejemplo, entre otras, ¿Cómo es posible que un sistema de axiomas sea consistente aun cuando se le agregue el enunciado que afirma que el sistema no es consistente?, ¿Puede ser demostrable un enunciado falso?, ¿Si un enunciado no es demostrable, cómo podemos saber que es verdadero?

Tal vez la reaparición recurrente de estas dudas se deba a que no he podido, o no he sabido, en el escaso espacio que admiten los comentarios de las entradas, explayarme adecuadamente en las explicaciones necesarias.

Por ese motivo, he escrito un texto un poco más extenso que lo permitido por los comentarios. En ese texto trato de despejar los interrogantes que enumeré más arriba y otros relacionados con ellos. El texto está dividido en nueve partes, contenidas en sendas entradas de un blog vecino. Para ver la primera parte, basta zambullirse en este enlace. Gracias.