Preguntas y comentarios

Durante unos tres años este espacio estuvo abierto para que los lectores de Gödel para Todos plantearan las consultas, dudas o sugerencias que hubieran podido surgir de la lectura del libro. Esas consultas y sus respuestas se conservan todavía aquí en forma de comentarios.

300 comentarios:

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Anónimo dijo...

Una consulta:
En la página 51 se mencionan los axiomas de los numeros complejos. Mi duda era sobre el número 12n, que expresa que todo polinomio posee raíz.
¿No depende aquel axioma del teorema fundamental del ágebra? si es asi, ¿continua siendo un axioma? o ¿es dicho teorema dependiente del axioma?


(disculpen mi pregunta, sé que mis conocimientos de matemática, como ingeniero en proceso, son básicos)

Gustavo Piñeiro dijo...

En cada teoría, algunas afirmaciones son elegidas como axiomas y otras afirmaciones se deducen de ellas como teoremas. Pero el carácter de "axioma" o "teorema" depende de nuestra elección. Ninguna afirmación es intrínsecamente un axioma o intrínsecamente un teorema. Por ejemplo, si en la geometría se toma como axioma que:

"Por un punto exterior a una recta para una única paralela a ella."

entonces que

"La suma de los ángulos interiores de un triángulo es dos rectos."

es un teorema. Pero podemos perfectamente tomar a la segunda afirmación como axioma y entonces es la primera la que pasa a ser un teorema.

Si definimos los números complejos a partir de los reales y nos basamos en los axiomas usuales de los números reales, entonces puede demostrarse como teorema que todo polinomio (no constante) con coeficientes complejos tiene al menos una raíz.(el llamado Teorema Fundamental del Álgebra).
En el texto, sin embargo, se exhibe una teoría diferente para los números complejos. En ella para cada polinomio hay un axioma que dice que ese polinomio tiene una raíz. Como en el ejemplo anterior (el de la geometría), en esta teoría algunas afirmaciones que en otro contexto son teoremas, pasan ahora a ser axiomas.

(Por favor, no es necesaria ninguna disculpa. Toda pregunta es válida.)

Gracias. Saludos, G.P.

María Celia dijo...

Posible errata: pág 24 donde dice: "Nos preguntamos cuál es hecho matemático que puede rastrearse en otros objetos,...", no debería decir "Nos preguntamos cuál es EL hecho matemático que puede rastrearse en otros objetos,...".

Conocí un señor que conoció un señor que, en el campus de Princeton, casi atropella a un abogado que caminaba con una vieja linyera. El que parecía un abogado era Göedel, la vieja, Eistein.
Es posible que no sea cierto que casi los atropelle. Sí es cierto que el señor que conocí contó eso.
El prestigio que supone este episodio afectó a ambos señores e incluso a los que escuchamos esta historia.
El primer señor se llama Greg Chaitkin y publicó en forma simultánea e independiente con Kolmogorov un paper sobre entropía.
Cordialmente, María Celia

María Celia dijo...

Errata: pág. 53 Donde dice: "Afirmación 9: (el miembro de la izquierda en la igualdad*)..." ¿no debería decir: "Afirmación 9: (el miembro de la izquierda en la igualdad (*))"?
Cordialmente, María Celia

Gustavo Piñeiro dijo...

Estimada María Celia,

Gracias por tus comentarios. Las erratas ya fueron incorporadas a la lista.

La anécdota que vincula a Chaitin, Gödel y Einstein nunca sucedió (entre otros miles de motivos, porque Chaitin tenía 8 años de rdad cuando murió Einstein). Sí es cierto, en cambio, qu cuando Cahitin dio su demostra´ción alternativa del Teorema de Incompletitud le pidió una entrevista a Gödel para comentarla con él. Gödel, ya bastante enfermo, le concedió la entrevista, pero lamentablemente murió antes de que llegara a concretarse.

Gustavo Piñeiro dijo...

Me escribe Guillermo Martínez:

[El comentaio de María Celia] se refiere a una anécdota que cuenta Chaitin, pero no se la atribuye a sí mismo sino a Martin Davis, que sí conoció a los dos (a mí me lo contó durante la entrevista que le hice para Radar). Escuché de esta anécdota otras veces, no sólo por comentarios de Chaitin. También: Chaitin descubrió a la par de Kolmogorov la complejidad descriptiva, no un teorema sobre la entropía.

Gracias.

Anónimo dijo...

Tengo una duda con el concepto de recursividad de un sistema axiomático. Concretamente, no logro imaginar ningún conjunto de axiomas no recursivo en el conjunto de todos los enunciados de la aritmetica (verdaderos o falsos)que anoto E.
Tomaré un sistema axiomático cualquiera y veré que es recursivo.

Sea A mi conjunto de axiomas. Si A es finito, entonces es recursivo. Si su complemento E-A es finito, entonces A es recursivo dado que en un número finito de comprobaciones podré verificar si pertenece o no a E-A y por lo tanto, si pertenece o no a A.
Supongamos que tanto A como su complemento E-A son infinitos.
Dado que los enunciados constan de un número finito de simbolos y que existe un número finito de símbolos diferentes, E tiene que ser un infinito numerable y por lo tanto también lo son A y E-A.
No tendremos problemas pues en numerar los elementos de A con todos los números pares empezando de cero. Del mismo modo podemos numerar todos los elementos de E-A con numeros impares empezando desde uno. Con esto, hemos establecido una biyección entre los numeros naturales y el conjunto E de todos los enunciados aritméticos (verdaderos o falsos).
Ahora tomo un enunciado cualquiera de E. Dado que existe una biyección entre E y los naturales, debe haber un n asociado a ese enunciado. No conocemos n, pero sí sabemos que es finito.
Ahora comparo el enunciado n con el 0. Si coinciden, el enunciado n pertenece a A y por lo tanto es un axioma, lo que queda verificado en un número finito de pasos. Si no coinciden, comparo el enunciado n con el enunciado 1. Si coinciden , el enunciado n pertenece a E-A y por lo tanto no es un axioma, lo que queda verificado en un número finito de pasos. Si no coinciden comparo el enunciado n con el enunciado 2 y repito el procedimiento. Hago lo mismo con cada enunciado de E siguiendo su orden numérico. Al cabo de una cantidad finita de pasos, estaré comparando el enunciado n con el enésimo enunciado de E,con lo cual podré verificar si pertenece a A o no, todo lo cual se logra en una cantidad finita de pasos.

Como he heho esto para un enunciado cualquiera de E, A debe ser recursivo.
Y como he tomado un A cualquiera, lo he verificado para todo A. Con lo cual, todo conjunto de axiomas A de E es recrusivo.

No veo donde está el error.

Saludos.
Cristian J. Caravello
Criscaravello@yahoo.com.ar

Anónimo dijo...

Encontré un eror en mi planteo anterior. No invalida la conclusión, pero igual lo apunto.

He dicho: "Si su complemento E-A es finito, entonces A es recursivo dado que..."
Error. E-A no puede ser finito ya que debe incluir a todos los enunciados falsos, que son infinitos.

Basta con reemplazar el parrafo equivocado por esta aclaración y pasar a considerar el caso en que A y E-A son infinitos.
Lo demás sigue igual.

Saludos.

Gustavo Piñeiro dijo...

Estimado Cristian,

Ante todo, gracias por tus comentarios.

En realidad tu razonamiento incluye un círculo vicioso que se puede resumir así: para saber si n es par o impar (en una cantidad finita de pasos) necesitaríamos saber previamente (en una cantidad finita de pasos) si E está, o no está, en A, pues es ésa la condición que determina qué número se le asigna a E. (Para saber si E está en A, ya tendríamos que haberlo sabido al asignar los números. Y si no sabemos cómo se asignan, entonces la numeración no nos sirve como parte de un método finito.)

Me explico: en tu razonamiento se propone un método para determinar en una cantidad finita de pasos si un enunciado E pertenece o no a un sistema axiomático cualquiera A. Pero para que este método sea válido cada una de sus etapas debe poder completarse en una cantidad finita de pasos.

Tu método dice: "Ahora tomo un enunciado cualquiera de E. Dado que existe una biyección entre E y los naturales, debe haber un n asociado a ese enunciado. No conocemos n, pero sí sabemos que es finito. Ahora comparo el enunciado n con el 0. Si coinciden, el enunciado n pertenece a A y por lo tanto es un axioma.." Un requisito implícito para que esto sea correcto es que, dado un enunciado E, tengamos un método (finito) para determinar qué número n le corresponde. Pero ¿cómo se asignan los números? En tu descripción se dice que no importa cómo se asignen los números, siempre y cuando a los enunciados de A le toquen números pares y a los otros les toquen impares. Pero para hacer esto necesitamos saber previamente cuáles enunciados pertenecen a A y cuáles no. Es decir, tu método sólo funciona si A es, de antemano, recursivo.

No dudes en volver a preguntar si fuera necesario.

Gracias nuevamente. Saludos,

Gustavo Piñeiro

Anónimo dijo...

Hola Gustavo. Ante todo gracias por responder mi pregunta. Me has dejado hundido en un páramo de ideas inquietantes donde no logro hacer pié.

Vamos a introducir una variante a mi razonamiento anterior que nos libre de la biyección, el número n, los pares y los impares.

Sea A un conjunto cualquiera de infinitos axiomas. Meto todos los enunciados de A dentro de una bolsa y los dejo allí, sobre la mesa (son chiquititos los bichitos). A todos los demás enunciados los meto en otra bolsa y los deja también por allí.
La verdad es que entre los enunciados verdaderos, no tengo la menor idea de cuales cayeron en una bolsa y cuales cayeron en la otra, de modo que dado un enunciado cualquiera, me es imposible determinar en qué bolsa está.

Sea e un enunciado cualquiera. Como no sé si es un axioma o no, me fijo en las bolsas del siguiente modo: Tomo un enunciado de la bolsa de axiomas, lo comparo con e. Si es igual (gran ventura!), ya he comprobado que e es un axioma en un número finito de pasos. Si no es igual lo tiro por allí y tomo un enunciado de la bolsa donde está el resto. Si coincide con e, ya he comprobado en un número finito de pasos que e no es un axioma. Si no coincide con e, lo tiro y vuelvo a sacar un enunciado de la bolsa de axiomas.
Y así continuo hasta encontrar un enunciado coincidente con e.

La pregunta es ¿daré con e luego de una cantidad finita de comparaciones o no?

No se la respuesta a esta pregunta. ¿que crees tu?

Ya sin seguridades, exploro:

Si la respuesta es no ¿no equivale esto a decir que nunca daré con e; que el enunciado e no está en las bolsas? si esto es así, tenemos un absurdo ya que e debe estar en A o entre el resto de los enunciados. Y si no es así, entonces tenemos un enunciado que... ¿será hallado pero dentro de infinitos pasos? ¿qué significaría esto?

Por el contrario, si encuentro e en alguna de las bolsas al cabo de un número finito de pasos entonces he podido comprobar si es un axioma o no en un número finito de pasos.
Como esto valdría para cualquier enunciado, A es recursivo.
Como esto vale para cualquier A, todo conjunto de axiomas es recursivo.

He aquí mi estado de desconcierto al presente.

Saludos y nuevamente gracias.

Cristian

Criscaravello@yahoo.com.ar

Pdta.: Mi esposa María José me obliga a informarte que fue alumna y es colega de la profesra Veltri, que ha colgado las fotos en tu blog. Dice también que ha asistido a la presentación del libro y que incluso hasta te ha saludado! (:o)

Gustavo Piñeiro dijo...

Me escribe Guillermo Martínez:

Hola Gustavo, tu respuesta responde a una de las cuestiones que Cristian pregunta, es decir, cuál es el error de su “demostración”. Pero quizá sería bueno señalar que los conjuntos recursivos de números naturales en realidad son “pocos” respecto de la totalidad de subconjuntos. En efecto, como cada conjunto recursivo corresponderá en el fondo a un programa, y sólo hay una cantidad numerable de programas, los conjuntos recursivos son una familia a lo sumo numerable de subconjuntos. De manera que “casi todos’ los subconjuntos de N serán no recursivos, aunque no resulta trivial señalar un conjunto no recursivo. Ejemplos de conjuntos no recursivos: El conjunto de enunciados verdaderos de N. Otro ejemplo; ver el libro de Martin Davis que damos como bibliografía. Un abrazo grande, Guillermo

Gustavo Piñeiro dijo...

Estimado Cristian,

Existen conjuntos para los cuales es posible dar un procedimiento mecánico que genera sus elementos uno por uno (se los llama conjuntos recursivamente numerables), pero para los cuales, sin embargo, no existe un procedimiento finito que determine en una cantidad finita de pasos si un elemento dado pertenece, o no, al conjunto (son recursivamente numerables, pero no recursivos).

Tomando tu metáfora, puede suceder que sea posible sacar uno por uno los elementos de la bolsa, pero que no haya un método finito para saber (siempre) si un elemento dado está o no en la bolsa.

Este espacio es demasiado breve para ampliar suficientemente la explicación. Te recomiendo leer este enlace: http://eltopologico.blogspot.com/2005/12/gdel-y-turing-parte-1.html

No dudes en seguir preguntando y consultando todo lo que creas necesario.

Mis saludos a María José.

Muchos saludos,

Gustavo Piñeiro

Anónimo dijo...

¡Gracias a ambos!

Voy a investigar la biliografía recomendada.
Tal vez me convenga dejar a un lado provisoriamente el problema de los enunciados y estudiar un poco el asunto de los conjuntos recursivos y recursivamente numerables en naturales.
Y por supuesto, a seguir leyendo el libro que aún no llegué ni a la mitad y está muy bueno.

Sospecho que algún nudito de todo este asunto tratado por Gödel puede estar allí, en el concepto de recursividad.

Saludos y gracias.

Cristian.

Anónimo dijo...

Hola, me llamo Pablo.
Quedé algo confundido con la cuestión de que el sistema de números complejos es completo, mientras que N no lo es.
No termina de cerrarme.
Sea P(n) una afirmación acerca de los números naturales.
Puedo construirme una proposición equivalente Q(z) para los números complejos diciendo algo así como: Q(z) tiene el mismo valor de verdad que P(n) si z = n es un numero natural.
Si z no es un número natural, le doy a Q(z) un valor de verdad elegido por mí, digamos que VERDADERO en todos los casos, para fijar.
Ahora, usando la completitud de los complejos, puedo demostrar la verdad o falsedad de Q(z) para todo z, y en particular puedo establecer lo mismo para P(n), todo n.
Y ahora puedo establecer la verdad o falsedad de toda proposición de números naturales.

En realidad no estoy seguro si es este el formato correcto de proposiciones que debiera usar. En todo caso, si el formato cambiara, la idea es la misma, N es un subconjunto de C, y si C es completo, ¿por qué no ha de serlo N?

No es que yo esté encaprichado conque esto último sea cierto, sino que termino de comprender el meollo del problema.

Y en todo caso, ya que C es completo, ¿es posible que un matemático haga todas sus construcciones que involucren números naturales partiendo desde N como subconjunto de C?
Sería un truquillo avispado para evitar la falta de completitud... aunque sospecho que me vas a decir que esto tampoco funciona.

Un abrazo y hasta pronto

Gustavo Piñeiro dijo...

Estimado Pablo,

Gracias por tu pregunta, es muy interesante. La respuesta no es obvia y se la discute en las páginas 93 y 94 del libro. El quid de la cuestión es que en el lenguaje (de primer orden) de C no se puede expresar la condición "z es un número natural". Por lo tanto "Q(z) es equivalente a P(n) si z = n es un numero natural" no se puede expresar en el lenguaje formal de C (porque no puede expresarse "z = n es un numero natural").

Tu truco para llevar los problemas de N a C tampoco funciona, por la misma razón. Una cuestión muy interesante relacionada con tu consulta es la siguiente:

Sabemos que todo polinomio no constante en C tiene una raíz en C. Por lo tanto es muy fácil escribir un programa de computadora que, dada una ecuación polinómica en C, determine en una cantidad finta de pasos si la ecuación tiene, o no tiene, soluciones en C. (Si la ecuación no es trivial entonces tiene solución. Una ecuación trivial sería 1 = 0.)

¿Podríamos aplicar tu truco y llevar este resultado a N? ¿Podríamos decir que existe un programa de computadora que, dada una ecuación polinómica con coeficientes en N, determina en una cantidad finita de pasos si la ecuación tiene solución o no (en N)? El problema de determinar si existe un algoritmo así fue planteado por David Hilbert en su famosa conferencia de 1900. El problema fue respondido negativamente por Julia Robinson y Yuri Matijasevic en 1970: no existe un algoritmo que permita resolver ese problema para N.

Una consecuencia de ello es que existen polinomios f(n) en N tales que la verdad o falsedad el enunciado "f(n) = 0 tiene solución en N" no puede determinarse en una cantidad finita de pasos.

Gracias nuevamente. No dudes en preguntar todo lo que consideres necesario.

Muchos saludos,

Gustavo Piñeiro

Anónimo dijo...

Hola.
Soy el mismo Pablo de antes.
Se me había ocurrido que uno podría definir la propiedad "z es un número natural" pidiendo que "z es un número real positivo y z es natural", de la siguiente manera:
Indico con z' al conjugado de z.
Luego la condición z = z' significa que z es un número real.
Además. la condición sen(pi.z) indicaría que z es un número entero, y luego se pediría que "Z > 0".
Así que P(z) = "z es natural" se escribiría
P(z) = "z = z', z> 0, sen(pi.z)=0".

Esto presupone que no hay inconveniente en definir la función sen(z) para cualquier complejo z.

Pero si admitimos que "z es natural" no puede definirse en el lenguaje de 1er orden de C,
¿significa que tengo algún problema con la función sen(z)?
¿Por dónde se me escapó la tortuga?

¿El sistema axiomatico de C que ustedes mencionan en el libro tiene alguna deficiencia teórica, o puede desarrollarse allí toda la teoría conocida de variable compleja?

Gustavo Piñeiro dijo...

Estimado Pablo,

Gracias por tu pregunta, que expresa una duda que tal vez sea compartida por otros lectores.

Todo lenguaje de primer orden tiene algunas restricciones específicas. Una de ellas (aunque no la única) es que en todo enunciado cada símbolo debe aparece una cantidad finita y específica de veces. Por ejemplo, podemos escribir 1 + 1 = 2, 1 + 1 + 1 = 3, pero no podemos escribir 1 + 1 +... + 1 (n veces) = n (si así fuera, "Ser natural" sería expresable en C).

El lenguaje de primer orden de C tiene como operaciones primitivas a la suma y el producto, y en él se puede expresar cualquier función que definible por la aplicación de una cantidad finita y específica de esas operaciones (agregando, si fuera necesario, conectivos lógicos). Por ejemplo, cualquier función polinómica puede expresarse en esa teoría (pero no "Ser un polinomio" por eso para decir que "Todo polinomio no constante tiene una raíz" se necesita un axioma diferente para cada polinomio).

La función seno se define mediante una serie, por lo tanto no se puede expresar en el lenguaje de primer orden de C. La teoría rescata los aspectos algebraicos de C, no los analíticos. Podríamos extender la teoría agregando como elemento primitivo la función seno, pero en ese caso probablemente ya no sea completa.

No dudes en continuar consultando si la explicación no te resulta satisfactoria.

Cordiales saludos,

Gustavo Piñeiro

Anónimo dijo...

Gracias por responder.
Por ahora me quedo bastante tranquilo, con eso de las series.
Supongo que la teoría general de variable compleja, incluyendo series y análisis en general, debe edificarse siguiendo el camino de construir sucesivamente N, Z, Q, R y C, los últimos a partir de los previos.
Con ello la teoría analítica de C dejaría de ser completa, porque ''incluiría'' la incompletitud de N.

Tengo otras dudas, pero necesito estudiar un poco antes de preguntar con seriedad.

Gracias por vuestra dedicación a este tema.

---Pablo---

Gustavo Piñeiro dijo...

En mi comentario anterior decía que "Podríamos extender la teoría [de primer orden de C] agregando como elemento primitivo la función seno, pero en ese caso pobablemente ya no sea completa."

De la frase anterior podemos quitar el "probablemente": del Teorema de Gödel se deduce que si se agrega a la teoría cualquier función o relación que permita definir la propiedad de "Ser natural" entonces la teoría será, con toda certeza, incompleta.

Anónimo dijo...

Una pregunta chiquitita y tal vez irrelevante.
¿Por qué razón las reglas de inferencia (modus ponens y regla de generalización)no pueden enunciarse como axiomas del sistema lógico?

El modus ponens se podría escribir como
Si ((Si P entonces Q) y P) entonces Q
Reemplazando el "y" por la implicación del modo conocido.

La regla de generalización también se puede anotar como axioma poniendo
Si P entonces para todo x Px

¿Cuál es la diferencia cualitativa entre estas fórmulas que se describen como "reglas" y los axiomas? ¿Por qué hablamos de 10 axiomas y 2 reglas de inferencia y no directamente de 12 axiomas?

Saludos.

Cristian

Gustavo Piñeiro dijo...

Estimado Cristian,

La pregunta no es para nada irrelevante. La distinción es sutil.

En principio, la diferencia es que:
a) Un axioma es una fórmula.
b) Una regla de inferencia puede verse como una operación que, dadas ciertas fórmulas, permite generar una fórmula nueva.

Una demostración es una sucesión de fórmulas en la que cada una de ellas es un axioma o es generada por fórmulas anteriores por aplicación de esas operaciones llamadas "reglas de inferencia".

Creo que la confusión puede provenir de leer las fórmulas apegándose a la interpretación de los símbolos. Cuando leemos "P -> (Q -> P)" (axioma L1), solemos entender que el axioma dice: "De P puede deducirse Q -> P" o "Si P es verdadera entonces Q -> P también lo es". En efecto ésa lectura es la que nos permite entender qué dice el axioma y la que nos convence de que es correcto, pero, en el contexto del programa de Hilbert (que es el contexto en el que se da la definición de demostración que copié más arriba) la lectura "correcta" de "P -> (Q -> P)" es:

"P flecha paréntesis Q flecha P paréntesis"

Solamente se trabaja a nivel sintáctico, sin interpretar los símbolos. Las reglas de inferencia nos dicen cómo combinar los símbolos para generar nuevas fórmulas.

Creo que sería más claro si en los axiomas en lugar de -> se usara el símbolo *.

De este modo el axioma L1 sería: P*(Q*P)
Otro axioma sería (-P*-Q)*(Q*P)

Y el modus ponens diría que si en una demostración aparece P y P*Q entonces podemos agregar más adelante la fórmula Q.

De hecho, "((Si P entonces Q) y P) entonces Q" es un teorema que puede demostrarse, pero es un enunciado, no una regla.

Dicho sea de paso, si se agregan como axiomas todas las fórmulas del tipo "P -> para todo x P", donde P es una fórmula cualquiera y x es una variable cualquiera, entonces puede usarse el modus ponens como única regla de inferencia.

No dudes en volver a preguntar todo lo que creas necesario.

Muchos saludos,

Gustavo Piñeiro

cristian dijo...

Sígno de admiración abierto ce mayúscula ele a ere í ese i eme o signo de admiración cerrado punto

:)

Cristian dijo...

Hola a todos. Hace un par de días que estoy dando vueltas con la construcción de la autoreferencia porque algo no me cierra.

El segundo párrafo de la página 148 dice:

"En efecto, llamenmos n al código de la expresión "d(x) cumple la propiedad P". Por definición de la función diagonal d(n) es el código del enunciado que se obtiene al reemplazar x por el numeral de n. Pero este enunciado es "d(n) tiene la propiedad P" (...)

Esto último es falso. Si reemplazo x por el numeral de n en "d(x) cumple la propiedad P" me queda el enunciado "d(numeral de n) cumple la propiedad P". Y esto ya no sé lo que quiere decir porque la función d no está definida para numerales sino solo para números (que además sean código de alguna formula con al menos una variable libre).

Esto es algo de lo que no me cierra.

Saludos.
Cristian.
Criscaravello@yahoo.com.ar

Gustavo Piñeiro dijo...

Estimado Cristian,

Comencemos por la distinción entre numerales y números. El número dos, por supuesto, puede escribirse de diferentes maneras: 2, 10 (en binario), II (en romano), etc. "Numeral de n" es la secuencia de signos que representa al número n en el lenguaje formal de la aritmética, más fácil: el numeral de n es el modo en que el número n se escribe en el lenguaje formal. En el lenguaje que se usa en el libro, el numeral del 2 es SS0 (que casi siempre abreviamos escribiendo un 2 en negrita). Así, el 2 puede escribirse 2, 10, II o SS0 según el caso.

Al decir "d(numeral de n) cumple la propiedad P" queremos destacar el hecho de que en el lenguaje formal el número n se representa mediante su numeral. En el lenguaje formal no escribimos 2 + 2 = 4, sino SS0 + SS0 = SSSS0. Pero es sólo el modo en que se escribe el número n, el significado de "d(numeral de n) cumple la propiedad P" es que d(n) cumple la propiedad P. El significado es el mismo (y en la demostración del capítulo 5 lo que cuenta es el significado, ya que se trata de la versión semántica del teorema).

La función d entonces está definida para números (que sean códigos de fórmulas con una variable libre), los cuales se escriben (en el lenguaje formal) usando numerales.

Sea n el número de la expresión "d(x) cumple la propiedad P", entonces d(n) es el número de la expresión que se obtiene al reemplazar en ella x por n, pero el modo correcto de escribir n es con su numeral. Luego d(n) es el código de "d(numeral de n) cumple la propiedad P" que significa "d(n) cumple la propiedad P", es decir, "Mi código de Gödel cumple la propiedad P".

Si la respuesta no es clara, no dudes en insistir.

Y, como siempre, gracias por tus comentarios, que seguramente ayudan a aclarar dudas a otros lectores (y además me permiten revisar las ideas). Gracias nuevamente, muy cordiales saludos,

Gustavo

cristian dijo...

Hola Gustavo. De nuevo gracias por responder. Esto de leer un libro dificilito y poder formular preguntas a los autores es un verdadero lujo. Lo agradezco de veras.

El número d(n) se puede escribir "d(n)" o "d(n)" o "d(n)" (numeral de d(n)). Las tres formas representan el mismo número. Podemos ser poco rigurosos en intercambiar las dos primeras porque, en escencia, no pasa nada. Pero escribir la última donde va la segunda derribaría fatalmente todo el argumento.
Por esta razón y tal vez por una custión de gustos, prefiero poner los numerales donde van los numerales, aunque luego, al leer, siempre interprete un número.

Para seguir adelante entonces, modifiqué ligeramente la definición de la función d:

Si n es el numeral del código de una fórmula con una única variable libre, entonces d(n) es el código del enunciado que resulta de reemplazar en la formula la variable libre por n.

La función d toma ahora numerales y devuelve números, librándome de toda ambigüedad de notación al tener que reemplazar d(x) por d(n). Hasta ahora no encontré que esto generara problemas.

Tal vez, mi sensación de que algo no cierra se debe a que en el plano semántico, hay algo parecido a una definición cíclica por algún lado.

Tomenos el enunciado G:"no existe x tal que x Dem d(n)" Que significa "No existe ninguna demostración del enunciado cuyo código es d(n)" pero ¿Cuál es el enunciado cuyo código es d(n)?. Ese enunciado es G. De modo que nos queda algo del tipo: G: "No existe ninguna demostración del enunciado G", donde G está dentro de la definición de G.

Pero esta definición cíclica se consigue expresar en el lenguaje formal mediante una escritura no cíclica... Es como magia ¿no?

Sospecho que en breve preguntaré otra cosa. Si me pongo cargoso me avisan ¿eh?.

Saludos y gracias de nuevo.

Cristian.
criscaravello@yahoo.com.ar

Cristian dijo...

Sigo peleado con la autoreferencia, pero antes de seguir fastidiando voy a asegurarme de entender las demostraciones de las dos hipótesis.

Mientras tanto tengo otra pregunta.

La afirmación G: "no existe x tal que x Dem d(n)", donde d(n) es su propio código, se puede interpretar como “no existe ninguna demostración para de G”. Como está explicado en el libro, esta afirmación es verdadera e indemostrable. Es verdadera porque si fuera falsa sería demostrable, falsa y demostrable, lo cuál es imposible porque todos los axiomas son verdaderos y por el Teorema de Corrección. Y si no es falsa es verdadera y si es verdadera, lo que afirma es cierto, entonces G es no demostrable.

Una afirmación verdadera y no demostrable se puede agregar como axioma.
Supongamos que tenemos ahora un conjunto de axiomas igual al anterior con el agregado de G. En el nuevo sistema, G es demostrable, pues es un axioma. Pero si es demostrable es falsa en virtud de lo que afirma y entonces no puede ser un axioma. Absurdo. De modo que G no puede agregarse como axioma.

Esta G, no puede formar parte de ninguna axiomática mayor que aquella con la que se ha construido. ¿Es entonces su indecidibilidad más o menos… universal?

Saludos.

criscaravello@yahoo.com.ar

Gustavo Piñeiro dijo...

Hola Cristian,

"Demostrable" es un término relativo. Una afirmación puede ser demostrable a partir de cierto sistema de axiomas, pero no ser demostrable a partir de otros axiomas.

En la demostración del capítulo 5 se supone que inicialmente (antes de comenzar la "construcción" del enunciado G) se ha fijado un sistema de axiomas. Cuando decimos que G significa "Yo no soy demostrable" significa enn realidad "Yo no soy demostrable a partir de ese sistema de axiomas propuesto". Pero G se refiere sólo a ese sistema de axiomas específico, no dice "No soy demostrable con respecto a cualquier sistema recursivo de axiomas que se proponga".

Saludos!

Gustavo

cristian dijo...

Hola Gustavo.
Dices:
"Demostrable" es un término relativo. Una afirmación puede ser demostrable a partir de cierto sistema de axiomas, pero no ser demostrable a partir de otros axiomas.

Es cierto, pero ¿qué ocurre si los "otros axiomas" son los mismos primeros más el agregado de G?

Los primeros seguirán probando que el enunciado G es indecidible, y lo que se puede probar a partir de los primeros axiomas no puede contradecirse con los siguientes. Pero ahora he agregado a G como axioma, de modo que de los primeros se deduce que es indecidible y del último que no lo es. ¿Cual es el error del argumento?

Saludos y más muchas gracias!

criscaravello@yahoo.com.ar

Gustavo Piñeiro dijo...

Hola Cristian,

Una sucesión de fórmulas es una demostración si cada fórmula es un axioma, o bien se deduce de fórmulas anteriores por aplicación de las reglas de inferencia. Por eso, que una sucesión sea, o no, una demostración depende de cuáles sean los axiomas considerados.

"x Dem y" es verdadera si x es el código de una demostración de la fórmula de código y, pero, justamente por lo anterior, que "x Dem y" sea, o no, verdadera depende de los axiomas que hayamos tomado.

Fijemos un conjunto A de axiomas, el enunciado G dice: "Yo no soy demostrable a partir de los axiomas de A" (es decir, "No existe una demostración de mí basada en los axiomas de A").

Llamemos B al sistema que consiste en agregar al conjunto A el enunciado G como nuevo axioma. El enunciado G sigue diciendo "Yo no soy demostrable a partir de los axiomas de A", no habla de B.

El método de autorreferencia nos permite construir un nuevo enunciado G* que dice "Yo no soy demostrable a partir de B", pero este G* no es el mismo que G, ya que G está construido en base a una fórmula "x Dem y" que se refiere a demostraciones basadas en A y G* está construido en base a una fórmula que (por un abuso de notación) también llamamos "x Dem y", pero que en realidad es diferente de la anterior, ya que se refiere a demostraciones basadas en un conjunto diferente de axiomas.

Cada vez que agregamos un nuevo axioma, podemos construir un enunciado G indecidible para ese sistema, pero cada vez es un enunciado diferente (al principio del capítulo 6 hay un gráfico que representa este hecho).

Un abrazo,

Gustavo

Cristian dijo...

Bueno, les cuento que estuve varios días revisando el mecanismo por el que se define la autoreferencia porque algo me molestaba allí. He llegado a saber qué es.

La definición de d dice:

Si n es el numeral del código de una fórmula con una única variable libre, entonces d(n) es el código del enunciado que resulta de reemplazar en la formula la variable libre por n.

Recuerdo que esta definición es ligeramente diferente a la del libro porque toma n en lugar de n. Pero esto no será relevante.

Observemos ahora que pueden existir muchos algoritmos distintos que hagan lo que dice la definición de arriba. Por ejemplo, sea d(x) la expresión formal de un algoritmo P que calcula d(x). Consideremos entonces el algoritmo P’ que resulta de agregarle a P las siguientes tres instrucciones:
. Hacer Z=0 (donde Z no es ninguna variable utilizada en P)
. Hacer Z=Z+1
. Hacer Z=Z-1
Estas tres instrucciones tienen un efecto nulo en el algoritmo ya que después de correr P y antes de terminar, inventa una variable nueva, le asigna cero, le suma uno y le resta uno.

Si bien los algoritmos de P y P’ son equivalentes (hacen lo mismo), sus expresiones en lenguaje formal son diferentes porque uno tiene una variable de trabajo y tres instrucciones más que el otro.

Sean pues d(x) y d’(x) las expresiones formales de P y P’. Y sea n el código de la expresión “d(x) cumple la propiedad Q”

Por definición de d y d’,

(1) d(n) = cod[d(n) cumple la propiedad Q]
(2) d’(n) = cod[d(n) cumple la propiedad Q]

Evidentemente, d(n) = d’(n) pues sus algoritmos hacen lo mismo.

Pregunto ahora ¿cuál será el código de [d’(n) cumple la propiedad Q]. No lo sé, pero como la expresión formal de d(x) es distinta de la de d’(x), ese código debe ser distinto al de [d(n) cumple la propiedad Q] y por lo tanto distinto a d(n) y d’(n). Anotemos esto:

(3) m = cod[d’(n) cumple la propiedad Q]
(4) m <> d(n), m <> d’(n),

Tenemos entonces, de (1) y (2)

(5 ) d(n) = d’(n)

y de (1), (3) y (4)

(6) cod[d(n) cumple la propiedad Q] <> cod[d’(n) cumple la propiedad Q]

Y aquí viene el meollo del asunto.

(Continua)

Cristian dijo...

(viene del post anterior)

En (5), d(n) y d’(n) significan números. Y la igualdad es una igualdad numérica.
Afirmo que en (6), d(n) y d’(n) NO SIGNIFICAN NÚMEROS.
Esto es fácil de ver. Si fueran números, el miembro de la derecha sería igual al de la izquierda reemplazando un NUMERO por otro igual. En cuyo caso, ambos miembros deberían ser iguales. Para que ambos miembros sean distintos, como bien dice (6), es necesario que d(n) y d’(n) NO SIGNIFIQUEN NUMEROS.
Es muy claro esto. Dos expresiones que significan lo mismo en un lado y cosas distintas en otro lado, no tienen el mismo significado en el primer lugar que en el segundo, y si en el primer lugar (5) significan números, en el segundo lugar (6) deben significar otra cosa.

Así pues, en expresión

(1) d(n) = cod[d(n) cumple la propiedad Q]

al “d(n)” que está dentro del argumento de la función “cod” no se le puede asignar el significado de un número.

Pero entonces la autorreferencia ya no es posible, al menos a nivel semántico. No es cierto que (1) sea equivalente a “mi número de Gödel cumple la propiedad Q” porque para establecer la equivalencia, el “d(n)” que está dentro de la expresión debe interpretarse como un número, lo que no es posible según acabamos de ver.

Podemos revisar un poquito más el problema.

4 = 3+1; las expresiones “4 es número par” y “3+1 es número par” son equivalentes, pero en cambio

Cod[4 es número par] <> Cod[3+1 es número par]

Esto revela que aplicar la función “número de Gödel”, a una expresión, modifica dramáticamente el significado de la expresión. Un enunciado se transforma en un conjunto de signos, y ya no será posible interpretarlo como el enunciado que era para relacionarlo con cosas fuera del argumento de la función “número de Gödel”. Allí, los números, los enunciados, la demostraciones no son ni números ni enunciados ni demostraciones. Son solo signos.
Signos.
Signos bajo una luna más que hostil.

Gustavo Piñeiro dijo...

Estimado Cristian,

Tanta dedicación y efusividad son elogiables, pero me temo que haya en tu comentario doble una cierta confusuón en las definiciones y los procedimientos. Especialmente, estás omitiendo que la autorreferencia se logra en dos pasos.

Vayamos por partes:

La definición de d:

Si n = cod[x cumple la propiedad Q]

entonces:

d(n) = cod[n cumple la propiedad Q]

Como bien decís, la función d puede calcularse usando infinitos algoritmos diferentes. Digamos que d(x) y d'(x) representan dos de esos algoritmos (semánticamente son la misma función, pero sintácticamente tienen expresiones que pueden ser muy diferentes).

Consideremos las fórmulas:

d(x) cumple la propiedad Q
d'(x) cumple la propiedad Q

Como son sintácticamente diferentes sus códigos son diferentes. Paso 1:

n = cod[d(x) cumple la propiedad Q]
m = cod[d'(x) cumple la propiedad Q]

Luego (paso 2):

d(n) = cod[d(n) cumple la propiedad Q]
d(m) = cod[d'(m) cumple la propiedad Q]

d(m) y d'(m) son símbolos diferentes que representan el mismo número, por eso los enunciados:

d(n) cumple la propiedad Q
d'(m) cumple la propiedad Q

aunque son diferentes, significan ambos "mi número de Gödel cumple la propiedad Q".

d(n) y d(m) son códigos diferentes de fórmulas diferentes (con signos diferentes, en efecto) y por ello no hay contradicción en que sean diferentes.

La autorreferencia no sólo es posible, sino que cada algoritmo para la función d da una fórmula diferente, todas las cuales significan "Yo no soy demostrable".

Un abrazo,

Gustavo

Cristian dijo...

Hola Gustavo. Por lo que respondes, creo que no se ha entendido bien mi argumento, de modo que me voy a colgar del tuyo para que lo sigas de ahí.
Dices:

d(n) cumple la propiedad Q
d'(m) cumple la propiedad Q

aunque son diferentes, significan ambos "mi número de Gödel cumple la propiedad Q".


De acuerdo con esto, pero no es lo que yo planteo. El par de expresiones que estoy comparando es este otro:

d(n) cumple la propiedad Q
d'(n) cumple la propiedad Q

Notarás que estas dos expresiones no tienen el mismo código (de hecho el segundo siquiera es autoreferente). Sin embargo, los números d(n) y d'(n) son iguales.

¿Estás de acuerdo hasta aquí?

Saludos.

Gustavo Piñeiro dijo...

Estimado Cristian,

Ante todo debo decirte que si estás intentando probar que la autorreferencia no es posible, debo desalentarte: sí es posible y el enunciado planteado en el libro significa realmente "Yo no soy demostrable". No tengo inconveniente en seguir jugando a detectar las falacias en tus argumentos, pero aun cuando llegues a un argumento cuya falacia yo no sea capaz de detectar, no por mi incapacidad en hallarla dejará de estar ahí.

Siguiendo con tu argumento. Cito:

****************
d(n) cumple la propiedad Q
d'(n) cumple la propiedad Q

Notarás que estas dos expresiones no tienen el mismo código (de hecho el segundo siquiera es autoreferente). Sin embargo, los números d(n) y d'(n) son iguales.
****************

Son, en efecto, dos expresiones diferentes que se refieren al mismo número, número que cada una de ellas expresa de modo diferente. Y tienen, como debe
ser, códigos diferentes.

Pero es incorrecto decir que, por la definición de d sea:

d(n) = cod[d(n) cumple la propiedad Q]

d'(n) = cod[d'(n) cumple la propiedad Q]

Lo correcto es que d(n) = d'(n) = cod[d(n) cumple la propiedad Q]. La segunda de tus igualdades es falsa.

La función d (o d') sólo se aplica a códigos de fórmulas con una variable libre. Lo correcto es:

d'(m) = cod[d'(m) cumple la propiedad Q]

siendo m = cod[d'(x) cumple la propiedad Q]. Fijate: m = m = cod[d'(x) cumple la propiedad Q] y no n = cod[d(x) cumple la propiedad Q].

Tu turno. Un abrazo,

Gustavo

Gustavo Piñeiro dijo...

Estimado Cristian,

Agrego al comentario anterior que sí había entendido lo que escribiste en tu comentario doble (porque lo leí con atención) y que insisto en decirte que tu error consiste en no tomar en cuenta que la autorreferencia se consigue en dos pasos.

Por eso es que es falso que, a la vez, sea:

d(n) = cod[d(n) cumple la propiedad Q]

y también:

d'(n) = cod[d'(n) cumple la propiedad Q]

para el mismo n.

d'(n) es el código del primera enunciado (porque d(n) = d'(n)), pero no del segundo.

Para calcular el código de algo parecido a "d'(n) cumple la propiedad Q" primero calculamos el código de "d'(x) cumple la propiedad Q", que será un número m distinto de n, y recién entonces [segundo paso] lo reemplazamos por x, por lo que obtenemos:

d'(m) = cod[d'(m) cumple la propiedad Q]

El enunciado "d'(n) cumple la propiedad Q" no es autorreferente y no tenemos forma de hallar su código (a menos que tengamos la expresión explícita de d', de Q, etc.).

Un abrazo,

Gustavo

Cristian dijo...

Hola Gustavo. No tengo ningún derecho a robar tu tiempo con esto. El "juego" se termina cuando tu lo digas. Debes saber que para mi esto no es un juego. Realmente estoy tratando de entender la autoreferencia y como no estoy convencido, estoy tratando de ponerla a prueba.

Yo te creo cuando dices que la autoreferencia está probada. Pero no creo que tu estés convencido solo porque le crees a otro.

Ahora respondo a lo último que has dicho y luego me tomaré un impás hasta esta noche porque creo que encontré una forma más sólida de anotar mi objeción.

Dices:
Pero es incorrecto decir que, por la definición de d sea:

d(n) = cod[d(n) cumple la propiedad Q]

d'(n) = cod[d'(n) cumple la propiedad Q]

Lo correcto es que d(n) = d'(n) = cod[d(n) cumple la propiedad Q]. La segunda de tus igualdades es falsa.


De acuerdo con todo excepto con la última oración. Puedes comprobar que jamás anoté la segunda igualdad. Tengo muy claro que es falsa.

Dices:
La función d (o d') sólo se aplica a códigos de fórmulas con una variable libre. Lo correcto es:

d'(m) = cod[d'(m) cumple la propiedad Q]


n es el código de una fórmula con variable libre, de modo que d'(n) también "es correcto" (d'(n) está definido, es un número).

No tienes que responder esto. Espero poder anotar todo mejor en unas horas más.

Saludos y gracias.

Gustavo Piñeiro dijo...

d(n) y d'(n) representan números, son diferentes expresiones del mismo número, que es el dódigo de "d(n) cumple la propiedad Q" siempre que n sea el número de "d(x) cumple la propiedad Q".

"d'(n) cumple la propiedad Q" tiene un código diferente, digamos m, que, simplemente no se puede calcular usando la definición de la función d.

d(n) = d'(n) que son distintos de m. No hay ninguna paradoja o contradicción en esto.

Saludos,

Gustavo Piñeiro dijo...

Por otra parte, yo nunca he dicho que debas creer en mi palabra, precisamente por eso nos hemos tomado el trabajo de escrbir un libro con las demostraciones y de contestar estas preguntas. Simplemente te aconsejo que no inviertas tiempo en buscar contraejemplos simplemente donde no existen. Pero es sólo un consejo ("debo desalentarte" dije, nunca dije no que no lo hicieras).

Saludos,

Gustavo

Gustavo Piñeiro dijo...

Supongamos que el número de Gödel de "20 es un número par" fuera, precisamente, el número 20. Luego, el enunciado dice "Mi número de Gódel es par".

Ahora bien, el número de Gödel de "20 es un número par" es también 10 + 10, sin que de ello resulte cambio alguno a lo dicho antes.

"10 + 10 es un número par" es sinónimo de la anterior, en cuanto a que dice lo mismo acerca del mimo número. Dice, si se quiere:

"El número de Gödel del enunciado (20 es un número par) es un número par"

pero ciertamente ya no dice "Mi número de Gödel es par" pues 20 no es el número de Gödel de "10 + 10 es un número par".

Anónimo dijo...

Hola, leyendo los comentarios encuentro la frase "la función seno se define mediante una serie";

Mi consulta es sobre si hay algún libro (o algunos) en que se estudie tal relación o definicion.

Me pregunto si, por ej., el libro de Zygmunt clásico sobre trigonométricas, es tal que la estudia.

Disculpen la disgresión. Muchas gracias.

Tomás.

Gustavo Piñeiro dijo...

Estimado Tomás,

Seguramente la definicón está en muchos libros de Análisis. No sabría citar en este momento uno específico, pero tal vez Cálculus (de Tom Apostol) sirva como referencia.

Saludos,

Gustavo

Luciano dijo...

Hace poco rendi para entrar a balseiro y la biblografia recomendada para Analisis Matemático era:

* T. Apostol, Calculus, Vol. I y II, Editorial Reverté, 1999.
* S. Lang, Cálculo, Addison-Wesley Iberoamericana, 1990.
* J. Mardsen, A. Tromba, Cálculo vectorial, Prentice - Hall, 1998.
* R. Noriega, Cálculo diferencial e integral, Editorial Docencia, 1987.
* C. Pita Ruiz, Cálculo vectorial, Prentice - Hall, 1995.
* M. Sadosky, R. Guber, Elementos de cálculo diferencial e integral, Alsina, 2004.
* J. Stewart, Cálculo de una variable trascendentes tempranas, Thomson International, 2001.
* J. Stewart, Cálculo multivariable, Thomson International, 2002.

En cualquiera de ellos deberia aparecer la "Serie de Taylor" (serie infinita) de la funcion seno. En ultima instancia si no los tenes a disposicion, http://es.wikipedia.org/wiki/Serie_de_Taylor en series trigonometricas la primera es la de senos.

La notacion sigma (el simbolo que parece M girada a la izquierda) es lee asi:
*En la parte inferior esta la variable que aumenta en uno para cada termino de la suma y en numero con el que empieza, ej:n=0
significa que la variable es n y el 1º valor es 0
*En la parte superior el valor final de la variable que aumenta en uno para cada termino.
*El i-esimo termino se genera reemplazando i en la variable siempre que j < i < k,con j el valor inicial declarado en la parte inferior de sigma y k el valor fila declarado en la parte superior.
*puede resultar obvio pero en los ej anteriores n,j,i,k pertenecen a nº enteros para los casos más generales, pero para los mas comunes a nº naturales con o sin el cero

cristian dijo...

Hola Gustavo.

He trabajado un poquito. Seguramente no voy a descubrir ningún error, pero estoy aprendiendo bastante.
El hecho que me resulta curioso es que la equivalencia lógica no conserva la autoreferencia, es decir, dos enunciados pueden ser equivalentes, uno autorreferente y el otro no. Si la autoreferencia solo fuera una característica sintáctica de los enunciados, este hecho no me extrañaría, pero aplicada al significado de los enunciados me resulta muy sospechosa.

En lo que sigue tomo dos enunciados equivalentes, uno autorreferente y el otro no y a partir de ellos construyo otros dos enunciados equivalentes, uno verdadero y el otro falso, lo cual es absurdo.

He numerado cada paso de la prueba para que puedas seguir con comodidad la demostración y referenciar el error que encuentres.

Sea n = cod[x cumple la propiedad P] (1)

Sean d y d’ dos expresiones distintas de la función diagonal. (2)

Por definición de d

d(n) = cod[d(n) cumple la propiedad P] (3)

Por definición de d’

d’(n) = cod[d(n) cumple la propiedad P] (4)

de (3) y (4)

d(n) = d’(n) (5)

Sea ahora la expresión “d’(n) cumple la propiedad P”. Como la expresión formal de d’(n)
es distinta a la de d(n), tiene que ser:

cod[d(n) cumple la propiedad P] distinto de cod[d’(n) cumple la propiedad P] (6)

Sea pues m = cod[d’(n) cumple la propiedad P] (7)

Reemplazo (3) y (7) en (6) y obtengo

d(n) distinto de m. (8)

Como d(n) y m son números distintos, tiene que haber alguna propiedad que uno cumpla y el otro no. Supongamos sin pérdida de generalidad que

m < d(n) (9)

Sea ahora la propiedad

F(y): “cod[y cumple la propiedad P] <= m” (10)

Como la propiedad P es recursiva, la codificación de Gödel puede practicarse en un número finito de pasos y la relación de <= es expresable, F es expresable en el lenguaje formal.

Como d(n) = d’(n) por (5), tiene que ser

F(d(n)) equivalente a F(d’(n)) (11)

Para este paso estoy utilizando que “si a = b entonces F(a) es equivalente a F(b)”. Para fórmulas atómicas, este resultado puede probarse rápidamente del axioma L10. Para fórmulas en general, también debe verificarse, pero no me he tomado el trabajo de hacerlo. Me resulta evidente que si a y b son el mismo número, F(a) y F(b) son ambas verdaderas o ambas falsas. Si hubiera problemas con esto, podemos profundizarlo.

Ahora bien, evaluando (10) en d(n)

F(d(n)) : “cod[d(n) cumple la propiedad P] <= m” (12)

Reemplazo (3) en (12)

F(d(n)) : “d(n) <= m”

Entonces por (9)

F(d(n)) es falso. (13)

Por otro lado evaluando (10) en d’(n)

F(d’(n)) : “cod[d’(n) cumple la propiedad P] <= m” (14)

Reemplazo (7) en (14)

F(d’(n)) : m <= m

Entonces

F(d’(n)) es verdadero (15)

Copio las líneas (11) (13) y (15)

F(d(n)) equivalente a F(d’(n)) (11)
F(d(n)) es falso. (13)
F(d’(n)) es verdadero (15)

Absurdo. Dos enunciados equivalentes no pueden tener distinto valor de verdad.
-------
Gustavo, te ruego que si encuentras la falacia por favor me referencies la línea.

Saludos

criscaravello@yahoo.com.ar

Anónimo dijo...

Muchas gracias Gustavo y Luciano!

Casualmente, en cierto sentido mi pregunta se dió (al ver esa afirmación sobre la función seno como una serie), por la siguiente razón:

En Apostol, el último capítulo (sobre análisis numérico), leí hace poco que la Serie de Taylor es una seminorma.

El punto es que como la Serie de Taylor implica derivadas, razoné que me convenía entonces tratar de entender lo que es una derivada.

He aprobado cálculo en mi carrera, pero aún así, no sé lo que es una derivada...

Una vez leí un librito sobre las cartas entre Newton y Leibniz, y mencionaba la relación entre derivadas y series de potencias.

Por otro lado, sé (por un libro de LCTVS, que obviamente no comprendí en absoluto), que los Espacios de Series de Potencias, son LCTVS.

De ahí que me surgía la idea de que, dado que la Serie de Taylor es una seminorma (Apostol), mas que en los LCTVS se definen seminormas (o ellos, por seminormas), y como recordaba lo de las derivadas como series de potencias, era como que se unían los conceptos.

Traté de relacionar la fórmula estandard de una derivada, de los libros de calculo basicos, con una serie de potencias, y no pude llegar, aunque me pareció como que estaba a medio camino.

Por otro lado, el segundo teorema fundamental del calculo, creo haber entendido hace poco, implica (y se defini para), funciones convexas (las que implicarian todo lo anterior: seminormas e integracion de seminormas, que daria una funcion convexa; el polinomio de derivadas (series de potencias?) como el de Taylor, etc. Pero en ese caso, puesto que el segundo teorema es de integrales, y suponiendo que implicase seminormas, funciones convexas a partir de estas, y polinomios de derivadas...me quedaba el punto de las derivadas propiamente dichas.

Ergo, me surgen dos preguntas:

¿Hay algun "mejor" libro, o mínimo, en relacion al tratamiento que dé a la nocion de derivada?

¿El Licenciatura de Mat., cómo se enseña la nocion de derivada, y, sabe un Lic. en Mat., por ej. explicar una derivada como una serie de potencias, o por algun otro metodo?

Bueno, pido clemencia por tamaña disgresion cuando se estaba tratando sobre Godel; y agradezco infinitamente su buena onda (prometo no molestar mucho mas que esto).

Saludos.

Tomás.

Gustavo Piñeiro dijo...

Estimado Tomás,

Éste no es el ámbito adecuado paa que plantees tu pregunta. Uno los enlaces en la columna izquierda de este blog blog está titulado "Foros de lógica matemática", siguiendo ese enlace encontrarás además foros sobre otros temas. Creo que convendría que plantearas allí tu pregunta, en uno de los foros de análisis.

Saludos

Gustavo Piñeiro dijo...

Estimado Cristian,

Leeré lo que escribiste y en breve te diré qué me parece. Por de pronto, puedo decirte que no es tan raro que la autorreferncia no se conserve por la equivalencia. Hay dos tipos de autorreferencia: la autorreferencia semántica y la sintáctica.

En la autorreferencia semántica hay una referncia al propio significado: "Esta frase es falsa". La autorreferencia semántica suele llevar a paradojas, como la que provoca la frase que escribí antes.

Esta autorreferencia sí se conserva por equivalencias, ya que frases equivalentes dicen esencialmente lo mismo. (Por "equivalentes" entiendo aquí frases que dicen lo mismo pero de otra forma.)

En la autorreferencia sintáctica, hay una referencia a características sintácticas de la frase. Por ejemplo: "Esta frase tiene cinco palabras". Hablo aquí, no del significado, sino de características de los símbolos que forman la frase. Y como distintos signos pueden decir lo mismo de diferente forma entones esta autorreferencia no se conserva por equivalencia de significado.

"Esta frase tiene cinco palabras."
"La frase anterior tiene cinco palabras."

Ambas frases dicen lo mismo, una es autorreferente, la otra no.

"Ser demostrable" es una característica sintáctica de los enunciados, por ello no hay conytradicción en que "Yo no soy demostrable" no se conserve por cambios de signos que conserven el significado.

Al final del capítulo 6 se ve, en cambio, que la autorreferencia "Yo soy verdadera" (que es semántica) sí es imposible.

Leeré lo que has escrito.

Saludos

Anónimo dijo...

Ok, voy a ver qué hay en esos links. Muchas gracias!!!
Tomás.

Gustavo Piñeiro dijo...

Estimado Cristian,

La falacia está en la frase: "Dos enunciados equivalentes no pueden tener distinto valor de verdad."

¿En tu razonamiento, qué significado tiene la palabra "equivalentes"?

Me parece entender que es algo así como "que dicen lo mismo acerca del mismo número". Pero si es así, entonces la frase "Dos enunciados equivalentes no pueden tener distinto valor de verdad" es falsa, si es que el enunciado se refiere a características sintácticas de la representación de un número.

Por ejemplo:

Tomemos las funciones:

d(x) = x + x
d'(x) = 2.x

d(10) = 10 + 10
d'(10) = 2.10

Sean ahora los enunciados:

"d(10) usa cinco símbolos"
"d'(10) usa cinco símbolos"

Los enunciados son equivalentes según la definición dada más arriba, pero uno es verdadero y el otro es falso.

(Podemo acercarnos un poco más a tu ejemplo eligiendo un número m estrictamente comprendido entre los códigos de ambos enunciados. Entonces:

"cod[d(10) usa cinco símbolos] < m"
"cod[d'(10) usa cinco símbolos] < m"

Uno es verdadero y el otro false, pero no hay en ello contradicción alguna, porque el código esté en directa relación con la cantidad de símbolos y no es raro que una fórmula "más larga" tenga un código mayor.)

Escribiste:

*****
Como d(n) = d’(n) por (5), tiene que ser
F(d(n)) equivalente a F(d’(n))
*****

Justamente, d(n) y d'(n) son representaciones diferentes del mismo número, y F(y) se refiere a una característica sintáctica de la respresntación del número y, ya que habla del código de una fórmula que lo incluye.

Los enunciados:

cód[d(n) cumple la propiedad P] < m
cód[d'(n) cumple la propiedad P] < m

No hablan del número d(n) en sí, sino de dos formas diferentes de representarlo.

Así que F(d(n)) y F(d'(n)) son equivalentes (según la definición dada más arriba), pero no hay ninguna contradicción en que una sea verdadera y la otra falsa.

La pregunta es: ¿cómo es psoible que dos enunciados equivalentes tengan diferentes códigos de Gödel? Es porque el código es una característica sintáctica y la equivalencia (en el sentido que aquí le estamos dando) es semántica.

(Una versión más simple de la misma falacia sería: ¿Cómo puede ser que "Can tiene tres letras" y "Perro tiene tres letras" sean, una verdadera y la otra falsa, si ambas se refieren al mismo auimal?

Saludos,

Luciano dijo...

Gustavo:

Debo tener el peor sentido de la sincrinizacion, pues nunca puedo descargar las erratas.

He probado hacerlo tanto con Internet Explorer como con Mozilla Firefox pues no sabia si era un problema de compatibilidad y no hay caso no tengo como descargar las erratas. ¿No hay otraforma de acceder al archivo?

cristian dijo...

Hola Gustavo.

Cuando digo que dos enuncuados E1 y E2 son equivalentes quiero decir exactamente que (E1 implica E2) y (E2 implica E1).

Tengo entendido que cuando esto ocurre, E1 y E2 deben tener el mismo valor de verdad. Si me confirmas que esto no es así, realmente habré aprendido algo nuevo (y no podré resistir el impulso de ir a ver si eso no genera contradicciones en los axiomas lógicos).

En mi escrito anterior uso que:

a = b implica F(a) equivalente a F(b).

Pero no pruebo esto por vago! (vago yo, no el enunciado)

El axioma L10 dice:
Si F es una fórmula atómica entonces:

a = b implica (F(a) implica F(b))
y también
b = a implica (F(b) implica F(a))

Como a = b implica b = a, puedo poner


a = b implica ((F(a) implica F(b)) y (F(b) implica F(a)))

y de acuerdo a la defnición de equivalencia

a = b implica (F(a) equivalente a F(b))

Yo estoy usando esto mismo pero para fómulas F(x) cualesquiera y no solo atómicas. Si esto no fuera evidente dímelo que intentaré demostrarlo a partir de L10.

Entiendo todo lo que dices sobre las afirmaciones acerca de la sintaxis de las fórmulas. De hecho, la función codigo de Gödel es una herramienta para hacer afirmaciones sobre una propiedad de la sintaxis de las fórmulas. De lo que no estoy seguro es de que se puedan mezclar afirmaciones acerca de la sintaxis de los enunciados acerca de los números con afirmaciones acerca de los números sin generar contradicciones lógicas.

Saludos.

Gustavo Piñeiro dijo...

Estimado Cristian,

"Si F es una fórmula atómica entonces:
a = b implica (F(a) implica F(b))"

Deberías preguntarte ¿qué significa a = b? ¿En el mismo sentido en que d(n) = d'(n)? ¿No será que si F(d(n)) no tiene el mismo valor de verdad que F(d'(n)) entonces es que, contrariamente a lo que creés, no son equivalentes?

¿Es lo mismo el que dos términos sean iguales a que representen el mismo número? ¿"Representan el mismo número" es una propiedad recursiva, o al menos expresable en la aritmética?

¿No tendrá añguna relevancia el hecho de que d(n) y d'(n) no son términos sino que están representados por fórmulas tal vez muy complejas y tal vez F(d(n)) sea "para todo y d(y,n) implica P(y)" o algo por el estilo?

¿Realmente creés que hay un error esemcial en uan técnica que ha sido usada por cientos de lógicos durante casi un siglo? (Y no te lo propongo como argumento de autoridad sino como pregunta para que te formules? ¿O será que hay algo erróneo en tu razonamiento? (Error que, en lo personal, me cansé de tratar de explicarte.)

"De lo que no estoy seguro es de que se puedan mezclar afirmaciones acerca de la sintaxis de los enunciados acerca de los números con afirmaciones acerca de los números sin generar contradicciones lógicas."

Yo estoy seguro de que sí. ¿Dónde nos deja eso?

Mi sugerencia es que busques algún buen libro de texto de lógica y que profundices sobre el asunto. Yo ya no puedo hacer más.

Saludos

Yamil dijo...

Me da mucho gusto saber que se publique un libro de autores argentinos sobre el ya vapuleado teorema de Gödel, tantas veces malinterpretado, y sobre todo que enuncien los errores y las malinterpretaciones que hicieron muchos autores del ámbito de las ciencias sociales –aunque difícilmente podría decir yo que esas personas realmente hacen ciencias sociales-. Sobre todo, tratándose de Guillermo Martínez y de Gustavo, autores que yo sigo –del primero en sus novelas y del segundo en su blog, tan instructivo, “el Topo Lógico- y apoyo con el más efusivo énfasis.

Yamil dijo...

Respecto del debate:
Cristian afirmó:
“Tengo entendido que cuando esto ocurre, E1 y E2 deben tener el mismo valor de verdad”
El único definiendum más cerca a lo que yo llamo “equivalencia” y que no tenga contradicciones es la Ley de Leibniz, i.e., (x) (y) ((x=y)… (F) x … Fy))- uso los tres puntos en lugar del signo con las tres rayas horizontales de la notación lógica).
Algo que también me interesó fue el agudo comentario de Gustavo más atrás, refiriéndose al estatus que una proposición puede tener en un sistema, o sea, de si algunas proposiciones son teoremas y si otras proposiciones son axiomas. Sin embargo, pienso que consideremos el axioma de las paralelas: en todo plano en el cual hay una recta L y un punto P exterior a L, hay una y solo una recta L’ en el plano que pase por P y sea paralela a L. El debate acerca de este axioma de Euclides era, justamente, si era en efecto un teorema o era un axioma, es decir, si era deducible de los otros axiomas o si era en realidad un axioma. Consideremos ahora este otro axioma: Si un plano hay una recta L y una recta M y si todos los puntos de M están a igual distancia de L, entonces M es también una línea recta. Este axioma, es equivalente al de las paralelas, y cuando lo adoptamos, es posible demostrar el axioma de las paralelas-pero con la suposición tácita-.

Yamil dijo...

Existen otros axiomas equivalentes al de las paralelas, pero en esencia, lo que importa, juzgo, no es el axioma, sino si dado un cuerpo de axiomas, yo puedo derivar el teorema. Lo que descubrió Gödel , a propósito, es que para cualquier sistema axiomático no trivial, esto es, lo suficientemente fuerte como para contener a la aritmética elemental, puede demostrarse que existen proposiciones indecidibles, proposiciones cuya verdad y falsedad no pueden determinarse. Así pues, “demostración” se separa de “verdad”, porque Gödel demostró la existencia de dichas proposiciones –aunque Turing dilucidó más la naturaleza de esas proposiciones- aunque haciendo uso exclusivo de la sentencia autorreferente, inspirada, no en la paradoja de Epiménides, como se suele afirmar (porque la de Epiménides el Cretense no es de la cual pueda afirmarse que “Esa oración es una paradoja” con verdad), sino en la de Eubúlides –“Esta afirmación es falsa”, antinomia real-.
Pienso que Cristian está confundido principalmente porque dilucidar porqué las sentencias pueden poseer autoreferencia sintáctica o semántica –asumiendo que esa distinción es válida- es un problema muy complejo; por ejemplo, algunas paradojas están condicionadas por la definiciones implícitas no lógicas de “paradoja”, “adjetivo” –en el caso de hacer una paradoja “sintáctica” como la de “heterólogo” y “autólogo”-. Russell anotó una vez: “Si fuera necesario, dedicaría el resto de mi vida a hacer frente a este desafío. Pero hallo esto sumamente desagradable por dos razones. En primer lugar, el problema me parece trivial y detesto concentrar mi atención en algo que no parece intrínsecamente interesante. En segundo lugar, por mucho que lo intenté, no puede hacer ningún progreso. Durante 1903 a 1904, mi labor estuvo totalmente dedicada a esta cuestión, pero sin ningún vestigio de éxito”.
La fecha de esta nota precede a la construcción de la teoría de tipos, ahora llamada teoría de tipos simple, porque la formulación original era muy complicada. Si te interesa, Cristian, podemos intercambiar bibliografía sobre el tema - yo tengo mucha- y además, problemas pendientes, algunos de los cuales están estrechamente relacionados con la demostración del teorema de Gödel, sin que se ponga en duda, desde ya, la verdad de la demostración por parte de Gödel de la proposición indecidible, pero sí que profundiza y busca dilucidar que son las proposiciones autorreferentes en el lenguaje natural –yo estudio lingüística en forma autodidacta- y como se relacionan con el lenguaje lógico del cálculo inferencial y el sólido edificio de las matemáticas.
Mi mail es yamil.yulan@gmail.com y mi msn es yty02@hotmail.com.
Mucho gusto, y hasta pronto,
Yamil.

cristian dijo...

Solo me queda agradecer infinitamente los esfuerzos de Gustavo por hacerme entrar en razón y declararme absolutamente culpable de que hasta ahora hayan sido infructuosos.

Este tema de la autoreferencia ha resultado ser como un pez resbaladizo para mi, y cuando parece que lo tengo de un lado se me escapa del otro. Esto me pasa, por ejemplo con la última respuesta de Gustavo, donde entender que d(n) no es un término me libra de unos conceptos erróneos y me genera dudas nuevas.
Siempre pensé que en la escritura formal los números se representaban por términos.
Si d(n) representa un número y no es un término ¿qué es? Debe ser un enunciado o una fórmula. ¿Cómo puede un enunciado o una fórmula representar un número? Se me ocurre una forma, por ejemplo

P(y): “Existe x tal que (y= 2.x) y (0 < y) y (y < 3)” que solo puede verificarse cuando y=2.

¿Podemos decir que P(y) representa al número 2? ¿Así es como un número se representa mediante una fórmula? ¿d(n) es una cosa de este tipo?

P(y) es una fórmula con una variable libre que se hace verdadera cuando esa variable toma un único valor. ¿Todas las representaciones de números a través de fórmulas se hacen mediante fórmulas con una variable libre que solo se hace verdadera cuando la variable adopta un único valor? ¿es d(n) una cosa de este tipo? Entonces ¿Cuántas variables libres tiene d(x)?

Los comentarios de Yamil me hacen sentir menos solo con estas disquisiciones. Te agradezco y acepto tu ofrecimiento de información, sobre todo donde, como dices, se
profundiza y busca dilucidar qué son las proposiciones autorreferentes en el lenguaje natural y como se relacionan con el lenguaje lógico del cálculo inferencial y el sólido edificio de las matemáticas.

Mi mail es criscaravello@yahoo.com.ar

Saludos.

Fernando dijo...

Sólo entro para felicitarlos por el esfuerzo y la pasión que ponen para divulgar estos temas.

Tuve a Guillermo de profesor de Lógica en Exactas por el año 88 u 89, guardo un excelente recuerdo de él.

Algún tiempo después lo vi recitando poemas en la Bienal de Arte Joven, nunca imaginé que todo iba a converger en libros como Crímenes...

De nuevo muchas gracias a ambos y los felicito.

Gustavo Piñeiro dijo...

*Te remito a la definicón que encabez la página 205 del libro.

*No es tanto d(x) lo que interesa como d(x,y):"y es la salida del algoritmo que calcula d cuando la entrada es x".

Cristian dijo...

Gracias Gustavo! Tu generosidad es ilimitada y no quiero abusar de ella. Todos tus aportes me han ayudado a una mejor comprención de la autoreferencia.

Por otro lado, debería avanzar hacia los otros capítulos del libro.

Saludos y de nuevo gracias.
Gracias infinitas numerables.

:)

Enzo dijo...

Hola,

estoy gratamente sorprendido por la claridad de la exposición en el capítulo de incompletitud en un contexto general y abstracto. La verdad es que desconocía esas posibles extensiones del teorema de Godel fuera de la aritmética elemental.

Existe un único detalle más bien técnico que a mi modo de ver oscurece un poco la demostración y podría hacerse más claro en ediciones futuras.

En la página 206 se dice que, para asignar un código de punto y raya a cada símbolo de la teoría O se ordenan los mismos por el órden lexicográfico (del diccionario). Cual sería el orden lexicográfico en el contexto de una teoría de primer órden O arbitraria?. Yo entiendo que la manera de asignar los códigos de punto y raya es, sabiendo que O es numerable (y aquí es donde es clave la numerabilidad) asignar los símbolos en base a una enumeración (recursiva?) de los objetos de O.

Digo esto esencialmente porque el término "orden lexicográfico" puede llevar a malentendidos. Por ejemplo, el orden lexicográfico en los racionales positivos sería

0, 1/1, 1/2, 1/3, 1/4, 1/5 ...

y se ve que esta es una manera incorrecta de listar los números racionales para proceder a una enumeración de ellos.

saludos !

Enzo Tagliazucchi

nztglzcch@gmail.com

cristian dijo...

Después de tanta lucha, debo decirles que finalmente he podido reproducir el mecanismo de autoreferencia sin ninguna traba.
El objetivo alcanzado por Gödel me sigue pareciendo mágico (que un enunciado pueda referirse a sí mismo dentro del lenguaje formal, sin salirse del primer orden), pero ahora, además, el artilugio me parece maravilloso.

Fueron cruciales para mi entender las siguientes cosas:

1) Que en el lenguaje formal, un número no solo se puede expresar como término (numerales o cuentas entre numerales) sino también como formulas de una o más variables libres.

Por ejemplo, las fórmulas "x = 5" o "existe y tal que (x = 5.y) y (0 < x) y (x < 9)" tienen variable libre x, sin embargo, ambas fórmulas solo son verdaderas cuando esa variable adopta el valor 5. En general una formula P(x) que solo se cumple cuando x = n, puede considerarse como una representación del número n ya que la propiedad que cumple x es ser el número n.

Pero cuando un número se representa de esta forma, no puede operarse ni igualarse como si fuera un término. Así, si queremos escribir "5 + 3 = z" usando P(x) como representación de "5", no podemos escribir "P(x)+ 3 = z" sino "P(x) y (x + 3 = z)"

2) Que una función se representa mediante una fórmula de dos variables libres, donde al reemplazar una de ellas por un número, me queda una fórmula de una variable libre que es del tipo mencionado en 1, esto es, que solo puede adoptar un valor.

En la fórmula F(x,y) definida por “y = 2.x”, cuando reemplazo x por 3 nos queda F(3,y): “y = 2.3” que es una fórmula de una variable libre que solo puede valer 6.
Además, ¿cómo se reemplaza x por un número cuando éste viene representado por una propiedad? Por ejemplo, si en la fórmula F(x,y): “y = 2.x” quiero reemplazar x por 5 pero el 5 lo tengo representado como una propiedad P(z): “existe y tal que (z = 5.y) y (0 < z) y (z < 9)" ¿cómo reemplazo x por P(z) en F(x,y)? ¿qué sería F(P(z),y)? No puede ser “y = 2.P(z)” pues P(z) no es un término. Debo anotar en cambio “F(x,y) y P(x)” Que significa que y es el único número que verifica la propiedad F(x,y) cuando además x es el único número que cumple la propiedad P. Concretamente, el resultado de reemplazar x en F(x,y) por el número 5 representado como P(z), es la fórmula “(y = 2.x) y (existe z tal que (x = 5.z) y (0 < x) y (x < 9))”. Esta fórmula es además un ejemplo de formula de dos variables libres que representa un número como propiedad. Las dos variables son x e y, y el número representado es el 10 (2.5).

3) Con estos cuidados, pude definir una función diagonal d(x,y) que me sirviera para construir la autoreferencia en el enunciado “no existe z tal que z dem d(x,y)” cuyo código es n. Allí, d tiene que tomar n, determinar que n es el número de una fórmula de dos variables libres y reemplazar la de subíndice menor por n.
Este procedimiento, aplicado a cualquier n que sea el número de una formula de 2 variables, no siempre dará una representación de un número, solo cuando esa fórmula es además una función cuya variable de entrada tiene subíndice menor que la de salida. Pero no encontré un procedimiento recursivo para determinar si una fórmula de 2 variables es una función.
Afortunadamente, esto no fue necesario en el caso de la autoreferencia; d(x,y) es una función y yo decido los subíndices de las variables.

Bueno, he aquí mi experiencia con esto. Tal vez le sirva a alguien.

Saludos.

javierfresan dijo...

Hola,

Me llegó por fin vuestro Gödel de Argentina y lo estoy leyendo con
verdadero gusto.

En la demostración de la irracionalidad de raíz de 2 de las páginas 52-54 la afirmación 2, en la que se exige que los enteros a y b sean primos entre sí, no es necesaria para el resto de vuestro argumento. En la prueba clásica, se dice: 2 divide al cuadrado de a, por tanto 2 divide a a, pero si escribimos entonces a=2k, nos encontramos con una expresión simétrica para b, por tanto 2 divide a b y el hecho de que a y b sean pares contradice la hipótesis de que eran primos entre sí.

Sin embargo, vosotros evitáis el cálculo de la sustitución a=2k con el elegante recurso de la valuación 2-ádica. En ese argumento, no es necesario que a y b sean primos entre sí. Basta escribir a=2^na', b=2^mb', 2 no divide a a', 2 no divide a b', y entonces de la igualdad 2b^2=a^2 se deduce 2m+1=2n, que no tiene solución.

Un saludo cordial,
Javier Fresán

Tomás Ibarlucía dijo...

Hola nuevamente,
Una consulta. En la demostración del teorema 9.3, pág 209, se dice que es fácil ver que si existe una concatenación expresable con al menos dos átomos, entonces existe una concatenación expresable con exactamente dos átomos. Esto es precisamente lo que yo había interpretado que se probaba en la demostración de 9.1, pero allí se usa fuertemente que los átomos sean definibles, que es precisamente lo que en este caso no tenemos.
No me figuro entonces cómo probar ese punto; quiero discutir un posible contraejemplo. Tomemos las palabras formadas con tres letras con la concatenación usual, O=({a,b,c}^+, o). Seguramente se pueda ver que a, b, c no son definibles, como en el caso con dos letras. Se afirma que existe una concatenación expresable con exactamente dos átomos; llamemos V al subconjunto de palabras donde está definida la concatenación, que podemos llamar ô, y sean p y q los dos átomos.
Afirmo que entonces alguna de las tres letras a, b, c es definible, lo que no debería ocurrir. La letra en cuestión depende de quiénes sean p y q, pero p y q no intervienen en su definición. Si p y q empiezan con la misma letra, ésa será la elegida; si empiezan con letras distintas, será la tercera.
Como se indica en el libro, “ser una letra (átomo para o)” es expresable, y del mismo modo es expresable “ser un átomo para ô”, usando que “pertenecer a V” es expresable (por definición de que la nueva concatenación sea expresable). También podemos expresar “x es la primera letra de y”, mediante “x es una letra ٨ (y=x ٧ Ez(y=xoz))”. Luego, por ejemplo en el caso de que p y q empiecen con la misma letra, definimos esa letra como “existe un átomo para ô tal que x es la primera letra de dicho átomo”; si p y q empiezan con letras distintas, definimos la restante como “x es una letra ٨ no existe un átomo para ô tal que x sea su primera letra”.
Se seguiría que en este caso no se puede extraer una concatenación expresable con exactamente dos átomos.
Si el contraejemplo es incorrecto, podrían dar alguna indicación para probar ese punto?
Desde ya muchas gracias por la atención.
Saludos,
Tomás

Gustavo Piñeiro dijo...

Hola,

Es correcto que "Ser la concatenación de a y b" (o "de b y c", o de "a y c") no es expresable en T({a,b,c}^+,o). Pero sí es expresable "Ser la concatenación de exactamente dos átomos". Esto permite, dado un enunciado P en T({a,b}^+,o) obtener un enunciado equivalente P' en T({a,b,c}^+,o), es decir, todo enunciado en la teoría de la concatenación de dos átomos se puede traducir a un enunciado equivalente en la teoría de la concatenación de más de dos átomos, por lo que si T({a,b,c}^+,o) fuera decidible entonces T({a,b}^+,o) también.

Saludos,

Luciano dijo...

¿T({a,b,c}^+,o) es una extension de T({a,b}^+,o) o es simplemente otro sistema de representación de la teoría T?

Gustavo Piñeiro dijo...

Estimado Luciano,

Perdón, pero no he entendido la pregunta.

Saludos,

Luciano dijo...

¿T({a,b,c}^+,o) es una extension de T({a,b}^+,o) o son dos concatenaciones diferentes para una misma T?

Gustavo Piñeiro dijo...

Hola,

No sé si con esto respondo la pregunta:

({a,b,c}^+,o) es la estructura (o objeto) que consta del conjunto {a,b,c}^+ con la operación de concatenación "o".

({a,b}^+,o) es una subestructura de ({a,b,c}^+,o).

L({a,b,c}^+,o) es el conjunto de todas las fórmulas de primer orden que se construyen (a falta de otras relaciones, constantes, etc.) a partir de la operación binaria "o".

L({a,b,c}^+,o), L({a,b}^+,o) y L({a}^+,o) son el mismo conjunto de fórmulas.

T({a,b,c}^+,o) es el conjunto de todos los enunciados de L({a,b,c}^+,o) que son verdaderos en la estructura ({a,b,c}^+,o).

T({a,b,c}^+,o), T({a,b}^+,o) y T({a}^+,o) son tres conjuntos diferentes, que tienen enunciados en común , pero no hay una relación de inclusión entre ellas.

Por ejemplo, el enunciado "Existe exactamente un átomo", que es expresable en L({a,b,c}^+,o), ({a,b}^+,o) y L({a}^+,o) es verdadero en ({a}^+,o) y falso en los otros dos casos, por lo que pertenece a T({a}^+,o), pero no a las otras dos teorías. "Existe al menos un átomo" pertenece a las tres, "Existen exactamente dos átomos" pertenece a la segunda y no a las otras dos, etc.

El problema que se plantea es si la teoría es recursivamente axiomatizable, es decir, ¿existe un connunto recursivo de enunciados verdaderos tal que todo enunciado verdadero sea deducible de esos axiomas? Para T({a}^+,o) la respuesta es "sí", en los otros dos casos es "no".

Saludos,

Anónimo dijo...

Hola, mi nombre es Mariano.

Tengo una consulta respecto de la condiciíon de contener suficiente aritmética.

En la pág. 93 explican que por las condiciones 2 y 3, y bajo la hipótesis de que si P se cumple para algún x entonces también se cumple para algún x menor o igual que n, el enunciado 'existe'xP(x) es finitista (equivale a la disyunción P(1)óP(2)ó...óP(n));
pero no logro ver en que paso se necesita usar la condición 2. La pregunta es, ¿no alcanza con la condición 3?

Creo haber probado que si el enunciado

ExP(x)->Ex(P(x) y x< n)
(donde E es el símbolo para 'existe' y < para 'menor o igual')

es demostrable para algún numeral n entonces alcanza con la condición 3.Sin embargo no estoy seguro de que la propiedad que cumple P signifique que ese enunciado sea demostrable, ¿es así?

Sé que no es una pregunta demasiado interesante, pero quizá entender donde estoy razonando mal me permita entender algunos aspectos de la demostración que se me hayan pasado.

Muchas gracias, Mariano.

Anónimo dijo...

hola, escribo por primera vez aunque todavía no he leído el libro, soy estudiante de psicoanalisis de Lacan y quería saber si el libro que es de vuestra autoria desarrolla el uso que Lacan hace del teorema de Godel???

Gustavo Piñeiro dijo...

En respuesta a los dos comentarios anteriores:

1. Que ExP(x)->Ex(P(x) y x< n) sea verdadero no significa que sea demostrable. Las condiciones 2) y 3) se usan explícitamente en la demostración del teorema principal del capítulo 6.

2. No, el libro no desarrolla el uso que Lacan hace del teorema de Gödel.

Anónimo dijo...

Si no entendí mal, en la demostración usan explícitamente la condición 2) cuando prueban que ¬R no es demostrable. Sin embargo, en las pág.158/159 dan a entender que se usa tanto la condición 2) y 3) para demostrar que R no es demostrable, pero en esta parte de la demostración sólo usan explícitamente la condición 3).Por eso mi duda era (y sigue siendo) si era necesaria la condición 2) en ese instante de la demostración.

Mariano.

Gustavo Piñeiro dijo...

Estimado Mariano,

En tu primer comentario no hacías la distinción entre la demostración para R y para -R. La condición 3, en efecto, sólo es necesaria para probar que -R no es demostrable.

Pero el teorema que se prueba en el capítulo 6 dice que R es indecidible, es decir, que tanto R como -R no son demostrables y para esa demostración (que involucra a ambos enunciados) se necesitan las dos condiciones.

Saludos,

guillermo dijo...

Estimados Gustavo Piñeiro y Guillermo Martínez :

Estoy disfrutando del libro, y aún mas, me atrevo al blog, sin ser matemático, tal vez con una vulgaridad, que espero no caiga (horror ¡!!) en una trivialidad.
Me expresaré en lenguaje común (vulgar) retomando un párrafo de pag. 58 donde dice:”Ya no importa la naturaleza de los objetos, sino las relaciones...”. Precisamente la “naturaleza” de los objetos será su “función” o “relaciones entre sí” y esa será tambien su “especificidad”. El caballo, nombre tomado de la “naturaleza”, será según su comportamiento. Como expresa el dicho campero “en la cancha se ven los pingos”, y el caballo “es” ese que salta de un modo peculiar en el tablero.

Poco importa, como dice el párrafo de Lewis Carrol, lo que sucede a través del espejo, donde vale el nombre, o el nombre del nombre de los objetos. La sucesión del texto axiomático que logra una demostración es “suficiente” y “completa”, si como en el ej. de la lista de supermercado, es corroborada por la computadora cotejando los fondos bancarios de la tarjeta, y podemos como resultado lógico, hacer la compra. Como dice mas adelante, la manipulación de los axiomas no puede estar basado simplemente en la buena fe.

Si hay un “punto final necesario en la construcción del edificio de la teoria axiomática” a su vez ese edificio deberá cumplir algunas otras funciones (de esto tengo experiencia porque soy arquitecto). La consistencia relativa de las aplicaciones en geometría o física que se menciona son ese resultado (si se quiere pragmático) a que aludo.
Siempre que no se exagere, por ej. con la consistencia relativa lógica de un discurso de campaña política.

En muchos textos literarios (no solo en las novelas de Martínez) aparecen relaciones con la matemática. Recientemente, en un texto, volví a leer la consabida alusión a “la cuadratura del círculo” como un asunto imposible de resolver, y además una pérdida de tiempo en que incurren los insensatos aficionados a la matemática.
Como soy insensato, tengo la intuición que existe un determinado cuadrilátero para cada círculo, y además estoy cansado de esa peyorativa expresión, me aboqué a resolver ese problema, y llegué a la siguiente demostración.

He tomado un círculo, de radio = a 1, cuya sup. es : pi (pi por 1 al cuadrado = pi)
Un cuadrado de lado = raiz cuadrada de pi tiene también una sup. = pi (raíz cuadrada de pi al cuadrado = pi)
Análogamente, para un círculo de cualquier otro radio, su cuadrado equivalente (cuadratura) tendrá un lado = radio por raíz cuadrada de pi.

Me dirán: pero ese cálculo resulta en un número irracional.
Respondo que la sup. del círculo fue definido con el mismo irracional, por lo tanto la cuadratura contiene la misma inexactitud

Mi humilde consulta es si la anterior demostración axiomática tiene una aceptable consistencia relativa lógica.

Guillermo

PD : En la pag. 64 leo que “En su célebre conferencia de 1900, Hilbert se refiere a : …problemas viejos y difíciles tales como… la cuadratura del círculo….(que) han encontrado al fin soluciones plenamente satisfactorias y rigurosas…”.
Me gustaria conocer la solucion referida, si hay algun sitio donde esté publicado,
Gracias.

Gustavo Piñeiro dijo...

Estimado Guillermo,

La conferencia completa de HIlbert, en inglés, puede descargarse desde un enlace que está en la columna izquierda de este mismo blog.

Por otra parte, el libro "El reto de Hilbert", de Jeremy Gray (citado en la bibliografía de "Gödel...") contiene también el texto completo de la conferencia (en castellano) y la historia de qué sucedió con cada uno de los 23 problemas.

Saludos,

Mario Azcueta dijo...

Acerca de la función diagonal:

Quisiera saber si en algún lado puede consultarse más en detalle la construcción en el lenguaje formal de la función diagonal, ya que hay algo que no termina de cerrarme.

Cuando se construye un enunciado del tipo 'mi numero de Gödel cumple tal cosa' ¿cómo 'entra' el número de Gödel de una expresion dentro de ella misma?

Sospecho que no aparece explícitamente, ya que esto no tendría sentido, sino que se hace una referencia indirecta. Me gustaría saber más en detalle cómo se logra esto.

En otro libro que estoy leyendo, se hace una muy buena analogía entre esto mismo y un Quine (un programa de computadora que imprime su propio código en pantalla al ejecutarse)

http://en.wikipedia.org/wiki/Quine_(computing)

Saludos y muchas gracias!

Gustavo Piñeiro dijo...

Estimado Mario,

En el foro http://rinconmatematico.com/foros/index.php?board=65.0
dentro del tema titulado "Teorema de Gödel", hay una explicación detallada (aunque extensa).

Saludos,

Tomás Ibarlucía dijo...

Hola Gustavo,
Voy a insistir sobre el punto que comenté en la fecha 15 de julio.

Estoy de acuerdo en que "Ser la concatenación de exactamente dos átomos" es expresable. Y, aunque no veo que sea fácil probarlo, confío en vos cuando indicás que:

>Esto permite, dado un enunciado P en T({a,b}^+,o) obtener un enunciado equivalente P' en T({a,b,c}^+,o), es decir, todo enunciado en la teoría de la concatenación de dos átomos se puede traducir a un enunciado equivalente en la teoría de la concatenación de más de dos átomos

Pero lo cierto es que este camino que esbozás no es el que se sigue en el libro. Allí se dice que debe existir una concatenación expresable con exactamente dos átomos, y se la usa fuertemente para obtener dicha "traducción". Sin embargo, pienso que esa concatenación expresable no tiene por qué existir, como argumenté antes.

Gustavo Piñeiro dijo...

Estimado Tomás,

Ambos caminos son, en el fondo, el mismo. Tal vez te ayude el pensar concretamente cómo se puede expresar "Ser la concatenación de exactamente dos átomos".

Saludos,

Tomás Ibarlucía dijo...

Estimado Gustavo,

Cuando dije que "no veo que sea fácil probarlo", no me refería al hecho de que "ser la concatenación de..." sea expresable (eso lo entiendo), sino a la consecuencia que extraés de ello. De todos modos, dejemos ese punto, que en todo caso será interesante analizarlo si nos ponemos de acuerdo en lo que sigue.

Lo que digo es que la demostración del libro es incorrecta, porque afirma (y usa) que si hay una concatenación expresable con al menos dos átomos, entonces hay una concatenación expresable con exactamente dos átomos. El ejemplo de T({a,b,c}^+,o) muestra que este supuesto es falso.

Saludos, Tomás

Gustavo Piñeiro dijo...

Estimado Tomás,

La verdad es que el supuesto es correcto, así como lo es la demostración del libro. Vuelvo a decirte que para convencerte de eso tal vez te ayude el ecribir todos los detalles que (a esa altura de la exposición) en el libro ya no se dan.

Saludos,

Gustavo Piñeiro dijo...

Estimado Tomás,

Reflexionando sobre tu comentario se me ocurre hacerte esta pregunta: según vos ¿cómo habría que modificar la demostración para que sea correcta? Tal vez eso me ayude a entender en que te estás equivocando.

Saludos,

Tomás Ibarlucía dijo...

Estimado Gustavo,

Después mando un mensaje con una idea de cómo hacer la demostración por el camino que vos esbozaste en un mensaje anterior.
Antes voy a tratar de exponer más en detalle mi objeción.

En la definición de la página 204 se indica que en el objeto O=(U,R) hay una "concatenación expresable" cuando:
0) hay una operación de concatenación (o) definida sobre un subconjunto V de U,
1) "ser un elemento de V" es expresable en O,
2) la relación "z=xoy" es expresable en O.

Pensemos en el objeto O=({a,b,c}^+,o). Es decir, U es el conjunto las palabras formadas con las letras a, b, c; y el lenguaje para este objeto está limitado a los símbolos lógicos más los símbolos "o" y "=", que en la interpretación para este objeto designan la concatenación usual de palabras y la relación de igualdad, respectivamente. No hay constantes.
Este objeto tiene trivialmente una concatenación expresable, ya que:
0*) tenemos la concatenación usual de palabras, definida en V=U,
1*) "ser un elemento de U" se puede escribir por ejemplo como "x=x",
2*) por cuanto la interpretación dada para el símbolo "o" es la concatenación, la relación "z=xoy" se expresa justamente como "z=xoy".

Ahora queremos aplicar a O=({a,b,c}^+,o) la demostración del teorema 9.3, que empieza diciendo que, como O tiene una concatenación expresable con al menos dos átomos (tres, en este caso), entonces debe tener una concatenación expresable con exactamente dos átomos.
Esto significa que:
0**) hay un subconjunto W de U en el que hay una operación de concatenación, digamos ô, y dos palabras p y q que son los únicos átomos de esta concatenación,
1**) "ser un elemento de W" es expresable,
2**) "z=xôy" es expresable.

En mi mensaje del 15 de julio argumenté que estos últimos tres puntos no pueden ocurrir simultáneamente. Y la idea de fondo era que si "ser un elemento de W" era expresable, esto induciría la definibilidad de alguna palabra concreta, lo que no debía ocurrir en este lenguaje tan pobre. Si hay un error en mi planteo, tiene que ser en dicha argumentación, ya que no hay duda de que del libro se desprende la afirmación de los puntos 0**, 1** y 2**. Y esta afirmación es esencial a la prueba que allí se desarrolla, ya que permite suponer sin más que la concatenación con la que se trabaja tiene dos átomos. (Y luego usar que dos concatenaciones con dos átomos son isomorfas... y reducir todo al caso concreto ({a,b}^+,o) ya analizado).
Pero mi opinión es que 1** y 2** no valen, así que no hay una Concatenación Expresable de dos átomos en O=({a,b,c}^+,o).

Tomás Ibarlucía dijo...

Pienso ahora en cómo se podría hacer la demostración, siguiendo la idea de la traducción a partir de algo parecido a la propiedad P: "ser una palabra formada por (a lo sumo) dos átomos". Esta propiedad, predicada de z, se puede expresar como: "existen x e y tales que, si w es un átomo que figura en z, entonces w es x o bien w es y"; "w figura en z" se expresa como "z=w, o existe x tal que z=xow, o existe y tal que z=woy, o existen x e y tales que z=xowoy".
Esto es lo que yo entendía cuando hablabas de la propiedad "ser la concatenación de dos átomos". Notar que el que dicha propiedad sea expresable no quiere decir que haya una Concatenación Expresable de dos átomos.

La traducción.
Para fijar ideas, sigamos pensando en el ejemplo O=({a,b,c}^+,o).
En el libro lo que se quiere hacer implícitamente es lo siguiente: dada una fórmula F en L({a,b}^+,o), se considera una fórmula asociada F[W,ô] que consiste en restringir los cuantificadores de F a la clase W y cambiar la concatenación o por ô. Es decir, cada vez que aparece un "para todo x" se lo reemplaza por "para todo x en W", y las expresiones "z=xoy" se reemplazan por la fórmula que expresa "z=xôy". Esto sólo es posible bajo los supuestos 1** y 2**.

Si dichos supuestos no valen, podríamos intentar restringir la fórmula a la clase inducida por la propiedad P mencionada arriba, es decir cambiar cada "para todo x" por "para todo x tal que Px". Pero esto no servirá como traducción; por ejemplo, la fórmula F: "si x e y no tienen átomos en común, entonces en x figura un sólo átomo" es verdadera en ({a,b}^+,o), pero la fórmula restringida F[P] es falsa en ({a,b,c}^+,o), tomando x=ab, y=c (ambas satisfacen P).

La solución parece ser la siguiente. En lugar de la propiedad P, tomamos la relación Q: "si w es un átomo en x, entonces w=y, o w=z", que tiene tres variables libres: x, y, z. A continuación, dada una fórmula F en L({a,b}^+,o), consideramos la fórmula F[Q] cambiando cada "para todo x" por "para todo x tal que Q(x,y,z)" (suponiendo las variables y, z libres en ese contexto...). La fórmula F[Q] queda con las variables y, z libres, y por tanto la clausuramos tomando F' como "existen y, z tales que F[Q]".
Parece intuitivo que la traducción que resulta de cambiar F por F' va a servir. Es decir, que F es verdadera en ({a,b}^+,o) si y sólo si F' es verdadera en ({a,b,c}^+,o). Probarlo con formalidad debe requerir trabajo.

Espero haberme explicado bien.
Saludos, Tomás.

Gustavo Piñeiro dijo...

Estimado Tomás,

"En el libro lo que se quiere hacer implícitamente es lo siguiente..."

Tu segundo comentario es correcto. Es sólo una cuestión de lenguaje. Como ya dije, a esa altura del libro no se desarrollan las demostraciones en todo su detalle.

Saludos,

Tomás Ibarlucía dijo...

Estimado Gustavo,

No es una cuestión de lenguaje ni de falta de detalles. No me has leído con atención: cuando dije "En el libro lo que se quiere hacer implícitamente es lo siguiente...", estaba a la vez indicando que eso era incorrecto!

El asunto quedaría zanjado si respondés estas dos preguntas:

A) ¿Hay una Concatenación Expresable en el objeto ({a,b,c}^+,o) que tenga exactamente dos átomos ? (de acuerdo a la definición de Conc. Exp. de la pág 204!)

B) ¿El libro, afirma que la hay?

La respuesta a B es indudablemente sí (principio de la demostración de 9.3), pero sería bueno que nos pusiéramos explícitamente de acuerdo en eso.
La respuesta a A es el quid de la cuestión.

Saludos,

Gustavo Piñeiro dijo...

Estimado Tomás,

La demostración se basa en tres hechos:

1) La teoría de un objeto es recursivamente axiomatizable si y sólo si es decidible.

2) La teoría del objeto ({a,b}^+,o) no es decidible.

3) La teoría del objeto (V,o) (una concatenación con al menos dos átomos) contiene una "subteoría" isomorfa a la teoría de ({a,b}^+,o).

Luego, si (V,o) fuera recursivamente axiomatizable sería decidible y entonces la teoría de ({a,b}^+,o) sería también decidible (por estar "contenida" en la teoría de (V,o)). Luego (V,o) no es recursivamente axiomatizable.

En el libro se prueban los hechos 1) y 2). El párrafo inicial de la demostración expresa el punto 3).

Los hechos son claros. El resultado es cierto. Eventualmente puede haber una confusión en la interpretación de algunas palabras. Como dije antes, una cuestión de lenguaje.

Saludos,

Tomás Ibarlucía dijo...

Sí, esa es la estructura de la demostración, y mi exposición cuestiona precisamente la forma en que el primer párrafo señala el punto 3).

No hay una confusión de palabras sino una afirmación aparentemente falsa, lo que después de todo no sería tan terrible, y que atenderla podría mejorar este capítulo tan interesante. Pero no insistiré más.



PD. También tenía un comentario muy pertinente para hacer acerca del documento que subieron aclarando la demostración del teorema de consistencia, pero parece que no vale la pena.

Gustavo Piñeiro dijo...

Estimado Tomás,

La verdad es que tu objeción es casi irrelevante: el hecho que se usa en la demostración es que si la teoría con dos átomos es indecidible entonces la teoría con más de dos átomos también lo es. Ése hecho no sólo es verdadero, sino que es obvio. Todo lo demás es mera discusión acerca del modo más exacto, conciso o elegante de expresarlo. Una cuestión de lenguaje, como ya dije.

Si más adelante deseás expresar tu comentario acerca del teorema de consistencia, el blog estará abierto para que lo hagas.

Saludos,

Tomás Ibarlucía dijo...

>el hecho que se usa en la demostración es que si la teoría con dos átomos es indecidible entonces la teoría con más de dos átomos también lo es.

Ese hecho no se "usa" simplemente, sino que se pretende justificarlo con el primer párrafo y con los últimos, siguiendo una idea equivocada. Es un hecho verdadero, pero no por las razones aducidas en el libro, lo que de paso muestra que tampoco es obvio (aunque sea esperable).

Saludos,
t.ibarlucia@gmail.com

Gustavo Piñeiro dijo...

1. Las "vacaciones" del blog han terminado. Gracias por su paciencia.

2. Estimado Tomás: En realidad no "se pretende" nada, es sólo un libro, no te lo tomes tan a pecho. Gracias por tus comentarios, la errata que se desprende de ellos ya ha sido incorporada a la lista.

3. Agradecezco a Hernán González, quien me envió un mail privado en el que señala otras dos erratas, que también han sido incorporadas a la lista.

Saludos!

Anónimo dijo...

Hola Gustavo

Mi pregunta concierne a la intersante intervención de Tomás Ibarlucía acerca de la afirmación:

> es fácil ver que si existe una concatenación expresable con al menos dos átomos, entonces existe una concatenación expresable con exactamente dos átomos

Veo que en los errata incorporan una modificación de esta afirmación. Pero no me queda claro si es una mejora sólo en la formulación de la misma o si la afirmación era falsa.

El contraejemplo que dio Tomás hace unas semanas me pareció convincente en su momento, pero lo que comentaste sobre el contraejemplo me hizo dudar. Si podés aclarar un poco más esta cuestión, te lo agradecería, porque es un punto menor pero interesante.

Aprovecho para felicitarlos por el libro, que vengo leyendo con mucho detenimiento e interés.

Saludos cordiales,
Diego

Gustavo Piñeiro dijo...

Tal como estaba escrita, si se tomaba literalmente, la frase era falsa. El nuevo párrafo expresa lo quisimos decir en realidad. Me explico:

La demostración del teorema 9.3 tiene esta forma:

1) Se prueba que la teoría de un objeto es recursivamente axiomatizable si y sólo si es decidible.

2) Si la teoría de la concatenación con dos átomos no es decidible entonces la teoría de la concatenación con más de dos átomos tampoco lo es. Por lo tanto basta hacer la prueba para el caso de dos átomos.

3) Se prueba que la teoría de la concatenación con dos átomos no es decidible.

La controversia es acerca del punto 2), que es correcto, pero su justificación estaba mal expresada. La idea de la justificación es que la teoría de la concatenación de más de dos átomos contiene una "copia" de la teoría de la concatenación de dos átomos (de tal modo que si hay un algoritmo que decide la primera entonces habrá un algoritmo que decide la segunda).

Un modo más preciso de expresarlo es éste: para todo enunciado P del lenguaje de la concatenación de n átomos existe un enunciado P' del lenguaje de la concatenación de dos átomos tal que P es verdadero si y sólo si P' lo es. La propiedad crucial que permite esa reducción es el hecho de que "u y v son átomos y x está en {u,v}^+" es expresable. Por ejemplo, si P es "Er,s(v = s o r)" entonces P' es "Eu,v(u y v son átomos y Er,s(v = r o s y (v, r y s están en {u,v}^+))".

A esa altura del libro ya no se dan todos los detalles de las pruebas, por lo que tratamos de reudcir ese detalle a una sola frase, que resultó ser imprecisa.

Tomás cuestiona que se diga que "es expresable una concatenación de exactamente dos átomos" porque tal concatenación no sería expresable en el sentido de la definición de la página 204. A eso apunta su contraejemplo. Tal vez tenga razón y no sea expresable según la definición de la pág. 204, por lo que la frase, literalmente tomada, sería falsa. Pero eso no tiene mayor importancia: la definición de la pág. 204 la inventamos nosotros para que fuera más fácil enunciar los teoremas, y de hecho la cambiamos varias veces en las distintas reescrituras de capítulo. (Ya no lo recuerdo, pero tal vez hasta sea posible que la frase estuviera ya redactada antes de que la definición de la pág. 204 tomara su forma definitiva, ya que la frase no se quiere referir en realidad a ese concepto.)

Lo que la frase inicial de la demostración quería decir, como señalé antes, es que la teoría de la concatenación de n átomos "contiene esencialmente" una copia de la teoría de la concatenación de 2 átomos. La demostración formal se puede hacer siguiendo la idea del párrafo anterior, la idea intuitiva es que al agregar átomos el lenguaje no pierde expresividad, sino que la gana.

Había, en efecto, una cuestión de lenguaje y el primer párrafo de la demostración del teorema 9.3 debió haber sido redactado de modo diferente. Para evitar confusiones, en ediciones posteriores tal vez pongamos el punto 1) como lema previo, se haga la prueba para dos átomos y luego se enuncie como corolario el hecho para más de dos átomos.

Anónimo dijo...

Gustavo

Gracias por tu respuesta. Por lo que logro ver, hay un acuerdo entre vos y Tomás en el modo en que hay que pensar la justificación del punto 2) y de cómo se hace la traducción. Persiste seguramente un desacuerdo (posiblemente de lenguaje) acerca de qué cuenta como cuestión de lenguaje, pero eso es lo de menos. Lo bueno es que se haya contribuido a mejorar aun más el libro.

Me permito plantaer otra cuestión para Tomás, si todavía está leyendo y tiene ganas de participar: el 12 de julio enviaste una observación muy buena sobre un error en el modo en que se probaba la indecidibilidad de CON. Hace unos días sugeriste que tenías otro comentario sobre la nueva versión que Gustavo y Guillermo subieron subsanando dicho error. Podrías decir de qué se trata?

Gracias

Saludos,
Diego

Tomás Ibarlucía dijo...

Hola Gustavo, hola Diego

Bueno, me alegro de que se haya solucionado el asunto. Y de que hubiese más lectores meditándolo!

Una aclaración de lenguaje: usé "pretender" como "querer conseguir", sin más connotaciones (cf. DRAE).


Sobre la prueba del teo de consistencia: el archivo que está disponible en el blog aclara verdaderamente la estructura de la prueba, y creo que ese era el objetivo.
Pero lo que quería comentar era la siguiente indicación:

"en el desarrollo del capítulo 6 vimos que de la premisa “R es demostrable” se deduce ¬CON."

[Donde la expresión "“R es demostrable”" se entiende que denota la fórmula "Eu(u Dem p)"]

Si entiendo bien, lo que se vio en el capítulo 6 es que, si suponemos ("metamatemáticamente") que R es demostrable, llegamos a que el sistema no es consistente. Suena parecido, pero esto último es un razonamiento acerca del sistema, y lo que se quiere es una deducción dentro del sistema. Para ilustrar el punto, notar que en esa parte del capítulo 6 no se hace referencia a la fórmula ¬CON.

Saludos,
Tomás

Gustavo Piñeiro dijo...

La objeción está contemplada en la pág. 166. Cito (incorporando la fe de erratas):

"El desarrollo que hicimnos antes muestra que si tomamos a no-R como premisa entonces no-CON es demostrable. Ahora bien la sucesión de fórmulas que lleva desde no-R hasta no-CON se puede traducir a una demostración formalizada..."

El razonamiento metamatemático indica cómo escribir una sucesión de fórmulas que comienza con no-R, en la que cada de las demás es un axioma o bien se deduce de fórmulas anteriores por aplicación de las reglas de inferencia y que termina en no-CON. El razonamiento en sí no es una tal secuencia, pero se puede traducir a una (el razonamiento indica cómo se puede escribir esa secuencia). De hecho, una buena parte de esa secuencia está explícitamente escrita en el mismo capítulo 5.

Saludos,

Tomás Ibarlucía dijo...

Hola,

O sea que el punto se deja como ejercicio. Lo pensaré cuando tenga tiempo, no me doy cuenta si será fácil o difícil. Observo que no consiste simplemente en escribir con precisión y formalidad el argumento metamatemático anterior, sino en lograr una versión "intrasistema" del mismo.

Por la misma razón, dicho ejercicio sólo es necesario para la prueba del teorema de consistencia, y no para la del teorema de incompletitud. Este último está completo con el argumento metamatemático mencionado, mientras que el otro requiere una "traducción al interior de la aritmética".

Saludos cordiales,
Tomás

Pablo dijo...

Hola.
Tengo dudas sobre los Axiomas en la página 81.
Se trata de los Axiomas 9 y 10, en los que se reemplaza a una variable por otra.
Pongo un ejemplo con variable x,y,v,w para hacerlo más concreto.
Ahí se dice por ejemplo que x = y implica f(x,v,w) = f(y,v,w).

Lo que me pregunto es qué ocurre cuando en la fórmula f ya figura la variable y.
O sea, qué pasaría si una de las variables v ó w ya fuera la variable "de llegada" y.

La duda viene, porque si tengo que verificar paso a paso si cierta expresión coincide o no con el Axioma 10, puede que tenga alguna coincidencia "accidental" después del reemplazo.

Anónimo dijo...

(Creo que puse f(x,v,w)=f(y,v,w), cuando en realidad es f(x,v,w) implica f(y,v,w), pero la duda es la misma)

Gustavo Piñeiro dijo...

En realidad no comprendo la duda ¿podrías dar un ejemplo más concreto de "coincidencia accidental"?

Pablo dijo...

Supongamos que f(z1,z2,...,zn) es la fórmula "z1 = S(z2)", donde S(z2) significa el "siguiente" de z2.
Esa es una fórmula que tiene como variables a z1,z2,...,zn.

Ahora escribo la fórmula:
"(x=z2) ----> (f(x,z2,...,zn) ----> f(z2,z2,...,zn))"
Donde ----> es el signo "flecha".

Ahí obtendría que "(x=z2) ----> (x=S(z2) ----> z2=S(z2))"

Esa sería una coincidencia "accidental", que demuestra algo incorrecto, que un número z2 es igual a su "sucesor".

¿Está permitido este tipo de fórmulas o deducciones, o hay que ser más exactos en la formulación del Axioma 10?

Gustavo Piñeiro dijo...

Hola Pablo,

La fórmula "(x=z2) ----> (x=S(z2) ----> z2=S(z2))" es, en efecto, una instancia del axioma 10. Pero no es correcto decir que en sí mismo pruebe que z2 = S(z2).

Un axioma de la forma "P ----> Q" debe entenderse así: si P fuera demostrable entonces Q sería demostrable. Es decir, afirma que "de P podemos deducir Q", pero no afirma nada acerca de P o de Q por sí solos.

Como "P ----> (Q ----> R)" es equivalente a "(P y Q) ----> R" entonces un axioma de la forma "P ----> (Q ----> R)" se lee así: si P y Q fueran ambos demostrables entonces R sería demostrable.

En efecto, si pudiéramos probar que (x=z2) y que x=S(z2) (para la misma variable x) entonces podríamos deducir que z2 = S(z2). Por lo que "(x=z2) ----> (x=S(z2) ----> z2=S(z2))" es correcto.

Claro está que si los axiomas son enunciados verdaderos en realidad nunca podriamos probar simultáneamente que (x=z2) y que x=S(z2).

Saludos!

Anónimo dijo...

Pag. 80 2da ed.
Se introduce, en el axioma L4, por primera vez (creo) el "operador" / (reemplazo), pero si es "para todos" ¿no debería explicarse ese operador ANTES de usarlo dando por sobreentendido que se sabe qué hace?

Gustavo Piñeiro dijo...

Hola,

Tal vez puede haber una cierta perplejidad al ver el símbolo P(x/t) por primera vez, pero inmediatamente en el párrafo siguiente se explica que "P(x/t) es la fórmula que se obtiene al reemplazar..." etc.

Saludos,

Sergio dijo...

El libro es excelente.

He tratado de bajar las erratas del libro, pero no puedo.

hay otra forma? los enlaces no funcionan, disculpen.

Un ingeniero oriental
Montevideo, Uruguay.

Gustavo Piñeiro dijo...

Hola Sergio,

Gracias por tu comentario. Los enlaces funcionan aunque, en efecto, hay quienes han tenido problemas con ellos. Tal vez puedas intentar bajar los archivos desde una computadora diferente a la que uses habitualmente.

Un saludo,

Gustavo Piñeiro dijo...

Rectifico lo que dije antes: en efecto los enlaces no funcionan, estoy revisando qué ha sucedido.

Gustavo Piñeiro dijo...

Hola,

El problema de los enlaces está solucionado, al menos por el momento.

Saludos,

Sergio dijo...

Gustavo,

Los nuevos enlaces funcionan perfecto.

Muy agradecido,

Saludos cordiales.

Andrés dijo...

Es una consulta. Lei que estan haciendo un curso libre en exactas. Que dia se dicta y en que horario?
Saludos. y gracias.

Gustavo Piñeiro dijo...

Hola Andrés,

El curso se está dictando los viernes de 15 a 17 en el aula 8 del Pabellón I de Ciudad Universitaria. Comenzó el 4 de septiembre y termina el 30 de octubre.

Un saludo,

elvira dijo...

Hola Guillermo, Soy Docente de Matemática en Mar del Plata, en toda la "nueva secundaria" y me interesaron mucho tus libros. Empecé por el de Borges, luego, siguiendo un camino un tanto sinuoso me "encontré" con crímenes.... y ahora estoy releyendo GÖDEL...
Te comento que a partir de "crímenes...." hice un trabajo de investigación muy importante con alumnos de 3ero Polimodal, que fue "disparador de otras cuestiones y fue muy provechosos, espero repetirlo el año próximo. En cuanto a "GÖDEL..."creo que es muy elevado para los alumnosdel secundario, pero le estoy buscando la vuelta para acercárcelos. En los colegos creamos blogs para acercar información a los chicos y que interactúen y , si bien recién empezamos es muy interesante la experiencia. Cuesta mucho que se interesen y descubran la parte "fascinante" de la matemática. Es un gran esfuerzo, pero posible. Espero que algún día vengas a Mar del Plata a dar una conferencia o charla y se difunda lo suficiente.

Anónimo dijo...

Mi nombre es Osvaldo Pedace y, ante todo, quiero hacerles llegar mis sinceras felicitaciones por el libro.
Me permito hacer el siguiente comentario: en el recuadro de la página 56, donde se comenta la Paradoja de Russell, en el párrafo que dice:

"Si S pertenece a S, es uno de los X que verifica la propiedad entre llaves, por lo tanto, S no pertenece a S."

Me parece que debería decir:

"Si S pertenece a S, es uno de los X que NO verifica la propiedad entre llaves, por lo tanto, S no pertenece a S."

Agradeceré vuestro comentario.
Saludos.

Gustavo Piñeiro dijo...

Hola,

Los elementos que pertenecen a un conjunto son aquellos que cumplen la propiedad que lo define. Por lo tanto, si S pertenece a S, es uno de los X que verifica la propiedad entre llaves (que es la propiedad que define al conjunto S).

Saludos,

Anónimo dijo...

Hola Guillermo / Gustavo,
Una duda: en la página 216, de la primera edición, donde dice

“Por ejemplo, las sucesoras de
R --> P2 son la fórmula
(R --> P1) --> P1 y la fórmula
(R --> P1) --> P2.”

creo que debería decir

“Por ejemplo, las sucesoras de
R --> P2 son la fórmula
(R --> P2) --> P1 y la fórmula
(R --> P2) --> P2.”

Agradeceré vuestra respuesta.

Atte.
Osvaldo R. Pedace

Anónimo dijo...

Hola.
A mí me han enseñado lógica mediante el uso de "tablas de verdad".
Estoy algo confundido con las definiciones de "demostrable" y "verdadero" que se usa en el libro.

Quiero decir: vuestras definiciones las entiendo, pero lo que ahora no entiendo es qué es lo que he estado haciendo toda mi vida con las "tablas de verdad".
¿Estuve haciendo "demostraciones" o "calculando valores de verdad"?

¿Cuál sería la relación entre las tablas de verdad y la manera constructiva que ustedes emplean en el libro para hacer inferencias?

Gustavo Piñeiro dijo...

Las tablas de verdad son una técnica propia del "Cálculo Proposicional", que es una rama de la Lógica. Los concepto que se desarrollan en el libro corresponden al "Cálculo de Predicados", una rama diferente de la Lógica que (a grandes rasgos) contiene a la anterior.

Gustavo Piñeiro dijo...

Estimado Osvaldo,

En efecto, la errata existe (tanto en la primera como en la segunda edición), aunque la corrección más elegante sería cambiar "las sucesoras de
R --> P2" por "las sucesoras de
R --> P1".

Gracias. Un saludo,

Anónimo dijo...

Estimados Guillermo / Gustavo,
Respecto del final de la página 233 (de la 1ra edición), donde dice:

“Si S1 es una sucesión que lleva de R --> P1 o de R --> P2 hasta G entonces existe una sucesión S2 que lleva de F hasta H tal que:” ....y así hasta el final de la página.

No me queda claro cómo quedarían finalmente formadas las sucesiones S1 y S2, seguramente como consecuencia de no haber entendido alguna parte de las explicaciones previas. Por lo tanto, les agradeceré si pueden desarrollar un ejemplo explícito de dichas sucesiones, S1 y S2.

Un saludo.

Atte.
Osvaldo R. Pedace

Gustavo Piñeiro dijo...

Si F es, por ejemplo,
((R -> P1) -> P2) -> P2

y G es, por ejemplo,
(((R -> P1) -> P1) -> P1) -> P2

Entonces S1 es:
R -> P1
(R -> P1) -> P1
((R -> P1) -> P1) -> P1
(((R -> P1) -> P1) -> P1) -> P2

Y S2 es:
((R -> P1) -> P2) -> P2

(((R -> P1) -> P2) -> P2) -> P1

((((R -> P1) -> P2) -> P2) -> P1) -> P1

(((((R -> P1) -> P2) -> P2) -> P1) -> P1) -> P1

((((((R -> P1) -> P2) -> P2) -> P1) -> P1) -> P1) -> P2

Si entendemos a F como 112 y a G como 1112 (según la equivalencia que se muestra en la pág. 216) entonces S1 es:

1
11
111
1112

y S2 es:

112
1121
11211
112111
1121112

H es 1121112, que es la concatenación de F y G.

La sucesión S1 describe la "construcción" de G y la S2 "copia" esa construcción a partir de F.

Un saludo,

Anónimo dijo...

Hola Gustavo,
Gracias por tu rápida y esclarecedora respuesta en relación a mi consulta sobre la formación de las sucesiones S1 y S2, del final de la pág. 233.
Luego de leer atentamente tus ejemplos, me sigue quedando una duda que deriva de la siguiente afirmación:

. S1 y S2 tienen la misma cantidad de fórmulas diferentes.

Y ahí es donde creo que algo se me está escapando, justamente con el concepto de "fórmulas diferentes", ya que observo que S1 tiene cuatro fórmulas diferentes y S2 cinco fórmulas diferentes.
Como siempre, agradeceré tu respuesta.

Atte.
Osvaldo R. Pedace

Gustavo Piñeiro dijo...

Sí, en realidad S2 tiene siempre una fórmula más que S1. Esto se debe, me doy cuenta ahora, a que S1 comienza con el primer átomo de G, mientras que S2 comienza con F, al que luego (en el segundo paso) se le agrega el primer átomo de G. Una alternativa para subsanar el error sería redefir S2 de tal modo que comience F -> Pi (siendo R -> Pi el primer átomo de G), en lugar de que comience con F.

Gracias por la observación. Un saludo,

Anónimo dijo...

Hola Gustavo,
la alternativa de redefinir S2 termina de aclararme el panorama.

Una última observación sobre la página 233.

Donde dice:

. Si A -> C Є S'1 y B -> C Є S'2,..

Creo que debería decir:

. Si A -> C Є S'1 entonces B -> C Є S'2,..

Muy felices fiestas!!!

Atte.
Osvaldo R. Pedace

Gustavo Piñeiro dijo...

Estimado Osvaldo,

Muchas gracias por tus observaciones. Felices fiestas para vos también.

Un saludo,

Gustavo

Anónimo dijo...

hola!! tengo una pregunta. en el ejercicio 6.6 (pág.171) pide demostrar que si P y Q son fórmulas demostrables entonces (P*Q) tambíen lo es. Pero la demostración pareciera mostrar al revez, o sea que si (P*Q) es demostrable tmbn los P y Q, pues allí se supone cierto (P*Q) y a partir de allí se demuestra P, y luego se dice que es igual para Q. ¿Esto que digo es una falsa impresión mía o estoy en lo cierto?
saludos

Gustavo Piñeiro dijo...

Agrego una errata: en la página 161, donde dice "La demostración puede verse en el ejercicio 6.6" debe decir "La demostración puede verse en el ejercicio 6.5"

Acerca del ejercicio 6.6, la observación es correcta: la "resolución" del ejercicio que se da en la pág. 171 es incorrecta, ya que prueba la recíproca de la afirmación que debe demostrarse.

Una demostración correcta que puede hacerse es ésta (es la primera que se me ocurrió, tal vez haya alguna más simple):

Comencemos viendo que si A, B y C son fórmulas tales que A -> (B -> C) es demostrable entonces B -> (A -> C) también es demostrable.

Partiendo de B como premisa vamos a construir una demostración de A -> C.

Comenzamos con B.
Agregamos una demostración de A -> (B -> C)
Agregamos (A -> (B -> C)) -> ((A -> B) -> (A -> C)), que es un axioma.
Por modus ponens, tenemos (A -> B) -> (A -> C)
Agregamos B -> (A -> B), que es un axioma.
Por modus ponens tenemos A -> B
Nuevamente por modus ponens, tenemos A -> C.

Por el Teorema de la Deducción, tenemos que B -> (A -> C) es demostrable.

Sean ahora P y Q cualesquiera. De la demostración del Teorema de la Deducción tenemos que:

(P -> -Q) -> (P -> -Q) es demostrable.

Si tomamos A = (P -> -Q), B = P, C = -Q, por lo demostrado antes deducimos que:

P -> ((P -> -Q) -> -Q) es demostrable.

Usando el esquema L2 es fácil deducir que:

P -> (Q -> -(P -> -Q)) es demostrable.

Pero -(P -> -Q) es (P y Q). Luego, hemos probado que, cualesquiera sean las fórmulas P y Q, la fórmula:

P -> (Q -> (P y Q)) es demostrable.

De allí se deduce inmediatamente la afirmación del ejercicio 6.6.

Gracias por la observación. Saludos,

Anónimo dijo...

hola!!! gracias x la consulta anterior (ej.6.1)!! tengo otra pregunta. si bien es obvio q cada fórmula del lenguaje formal es expresable en codigo y x ello concatenable (lo cual permite la autorreferencia), cuál es la necesidad de que la concatenación también sea expresable en lenguaje formal (tal como lo supone la hipótesis 1)? o sea, q problema habría si alguna concatenación no es traducible a la aritmética formalizada?
felicies fiestas, saludos,
fernando

Gustavo Piñeiro dijo...

No habría ningún problema si "alguna" concatenación no fuera traducible. Pero, si la concatenación que se usa para definir la codificación no fuera traducible entonces toda la demostración del teorema caería por su misma base (por ejemplo, toda la demostración del capítulo 8 estaría mal).

Un saludo,

Anónimo dijo...

Sobre el Ejemplo 1.1. de la pág. 46.
En mi opinión, los axiomas que presentan los autores en este ejemplo no describen al cuerpo C de los números complejos sino al cuerpo A de los números algebraicos. (El axioma 12_n nos dice que el cuerpo es algebraicamente cerrado y el axioma 11_n nos dice que es de característica cero, por lo que los números algebraicos, que son muchos menos que los números complejos -de hecho, forman un cuerpo numerable- verifican todos los axiomas. Para obtener C es necesario hacer algo con la topología (i.e. introducir un valor absoluto y exigir la completitud métrica o algo similar))

En cualquier caso, me pregunto si esos mismos axiomas caracterizan completamente a los algebraicos.

Por otra parte, este detalle carece de importancia de cara a la argumentación del texto, pues de lo que se trata es de proporcionar un ejemplo de teoría recursiva y completa y no de si esa teoría describe a C o a A.

J. M. Almira

Gustavo Piñeiro dijo...

En efecto, los axiomas no caracterizan al cuerpo de los números complejos. Me atrevería a afirmar que es imposible caracterizar al cuerpo de los números complejos mediante un conjunto recursivo de axiomas de primer orden.

La axiomatizción presentada en el ejemplo es completa en este sentido: todo enunciado de primer orden de la teoría del objeto (C; +, x, 1, 0) es demostrable a partir de esos axiomas.

Un saludo,

Gustavo Piñeiro dijo...

Agrega Guillermo Martínez:

En realidad, estos axiomas no caracterizan “completamente” ni a C ni tampoco a los algebraicos, sino sólo hasta donde puede hacerse con un lenguaje de primer orden. En ese sentido, el modelo C, el modelo numerable de los algebraicos y cualquier otro modelo de esta teoría son indistinguibles por enunciados de 1er orden (elementalmente equivalentes) (aunque, por supuesto, no isomorfos). La teoría recursiva y completa que presentamos es la que da lugar, via demostraciones, a todos los enunciados de 1er orden verdaderos en C (o en los algebraicos, o en cualquier otro modelo la teoría). Puede ser difícil ver esta diferencia sutil: pueden existir modelos elementalmente equivalentes (indistinguibles por enunciados de 1er orden), que no necesariamente son isomorfos.

Hernán dijo...

Hola Gustavo:

En primer término aprovecho de hacerte llegar a ti y a Guillermo mis agradecimientos y felicitaciones por la heroica y generosa decisión de editar este libro. Lo digo ya que este arriesgado desafío, cuyo costo en tiempo, en dedicación y en edición no debe ser menor, entraña un tremendo amor por la divulgación de esta maravillosa ciencia.

Una consulta: Creo entender que el esquema de la demostración del teorema de consistencia es el siguiente:

1) Premisa: no R
2) Deducción: existe u, u dem P (R es demostrable)
3) Dado lo anterior: existe un numeral m, m dem P
4) Deducción: m dem P es demostrable
5) Tras varios pasos: no R es demostrable
6) Deducción: no CON (ya que R y no R son demostrables)

Al parecer la duda que menciona Tomás en los comentarios se refiere a los pasos 3 y 4, que si bien son de toda lógica, no resulta evidente su formalización.

¿Como se hace en el plano formal para elegir un numeral m (opuesto a variable), que a su vez no sea conocido (y termine así siendo variable)?

Por otra parte, un razonamiento de esa naturaleza debe ser formalizable (en caso contrario existiría una deficiencia en los axiomas). Sin embargo, sería de gran utilidad conocer con mayor detalle el formalismo correspondiente.

El razonamiento parece indicar que si se presume demostrable una proposición cualquiera, entonces es demostrable que los es.

En otras palabras: si “b” es el código de la proposición B: “existe u, u dem a” y c es el código de la proposición C: “existe v, v dem b”, entonces D: B => C es teorema (sin que siquiera importe el valor de a).

Inversamente, corríjeme si me equivoco, no se puede demostrar la implicancia inversa C => B. Lo anterior ya que si tomamos la proposición G de Gödel: de no G: “G es demostrable”, no se deduce G (a la hora que si se deduce, se podría refutar el teorema de incompletitud).

De antemano gracias.

Un cariñoso saludo desde Chile

Hernán

Gustavo Piñeiro dijo...

Hola,

La idea es la siguiente: existe una secuencia de fórmulas que comienza con no-R y termina con no-CON en la que cada fórmula intermedia es, o bien un axioma, o bien se deduce de fórmulas anteriores por aplicación de las reglas de inferencia. De la existencia de esta secuencia, el Teorema de la Deducción nos permite concluir que "no-R -> no-CON" es demostrable.

La demostración en sí consiste en exhibir esa secuencia. En realidad, la secuencia no es exhibida en el libro, aunque en el capítulo 6 (agregado el archivo que se puede descargar en otra entrada de este blog) están todas las indicaciones de cómo la secuencia puede efectivamente construirse.

Una hipótesis del teorema es que si P es una proposición finitista verdadera entonces P es demostrable. ("Finitista" quiere decir que su verdad es verificable algorítmicamente.)

Si no-R es demostrable entonces existe algún m tal que "m Dem no-R" es verdadero y como su verdad es verificable algorítmicamente entonces es demostrable. El m no se "elige formalmente", simplemente, al construir la secuencia tomamos el m adecuado e insertamos la demostración de "m Dem no-P".

No es requisito que la elección sea "formal". Basta que la secuencia sea constructible.

Por otra parte, no se asume que de "P es demostrable" se deduzca P, o viceversa. Esto sucede en el caso especial de no-R por el modo en que está construida la fórmula (por su autorreferencia, tal como se explica con detalle en el archivo que se descarga desde la entrada titulada "Una aclaración importante".)

Saludos,

ILARI dijo...

En primer lugar, felicitaros por el libro: no es muy frecuente poder disfrutar de una obra tan rigurosa y, a la vez, tan clara (incluso para mí). Ha sido una gozada leeros. ¡Enhorabuena! (No me extiendo más porque imagino que estaréis hartos de elogios).

Mi duda es la siguiente: en la pág. 157 decís que las fórmulas «Form(y)» y «Dem(x)» definen ambas propiedades recursivas.

En cambio, en el libro “Kurt Gödel. Obras completas” de Jesús Mosterín, en la pág. 48, dice lo siguiente:

“Seguidamente, Gödel definte 46 relaciones y funciones numéricas, 41 de las cuales corresponden a otras tantas nociones metamatemáticas. [...] Gödel prueba que las 45 primeras relaciones son recursivas primitivas, pero la última no lo es. La última es la propiedad numérica de ser una FORMULA DEDUCIBLE, es decir, la propiedad que tiene un número natural si y sólo si es el número de Gödel de una fórmula deducible.”

Si no entiendo mal, lo que Jesús Mosterín afirma es que la fórmula «Dem(x)» no es recursiva (primitiva), mientras que vosotros afirmáis lo contrario. ¿O tal vez hay algo que no entiendo?

En todo caso, aún suponiendo que la fórmula «Dem(x)» fuese recursiva primitiva, no veo cómo puede serlo su negación «no-Dem(x)», ya que para demostrar que no existe ninguna demostración de la fórmula x, habría que recorrer todas las demostraciones posibles. ¿Es esto correcto?

Un saludo.

P.D.: Si leeros es un placer, poder consultar con vosotros nuestras dudas es un verdadero lujo.

Gustavo Piñeiro dijo...

Hola,

Muchas gracias por los elogios.

Acerca de la consulta, en realidad no hay contradicción con lo que dice Mosterín. Me explico:

"Form(y)" expresa la propiedad "y es el código de una fórmula", que es una propiedad recursiva (aquí no hay problema).

"Dem(x)" expresa la propiedad "x es el código de una demostración". Es decir, expresa la propiedad de ser es el código de una sucesión finita de fórmulas en la que cada una, o bien es un axioma, o bien se deduce de fórmulas anteriores por aplicación de las reglas de inferencia.

Ante una sucesión finita de fórmulas podemos verificar en una cantidad finita de pasos, si es, o no, una demostración, por lo tanto "Dem(x)", y también "no-Dem(x)", son ambas recursivas.

La relación que menciona Mosterín se expresa mediante la relación binaria "Dem(x,y)" (que en el libro llamamos "x Dem y") y que expresa "y es el código de una fórmula, además x es el código de una demostración que finaliza con la fórmula de código y".

Dem(x,y) es recursiva. Ahora bien, "y es el código de una fórmula demostrable" corresponde a "Existe x tal que Dem(x,y)" que, en efecto, como dice Mosterín, no es recursiva.

Tu observación sobre "no-Dem(x)" en realidad se refiere a "no existe x tal que Dem(x,y)".

A tu disposición si la respuesta no Ha sido suficientemente clara, o ante cualquier otra duda. Un saludo,

Gustavo

ILARI dijo...

Hola, Gustavo,

Gracias por la respuesta. Creo que entiendo lo que planteas, pero no deja de sorprenderme que Dem(x,y) sea recursiva y "Existe x tal que Dem(x,y)", en cambio, no lo sea, ya que (si no entiendo mal) la segunda es un caso particular de la primera.

Un saludo.

IZ dijo...

Hola, Gustavo,

Deseo plantearte dos temas estrechamente relacionados entre sí y con el teorema de Gödel.

1. La demostración de Gödel se basa en la teoría de conjuntos transfinitos de George Cantor. De hecho, si no me equivoco, la función diagonal d(n) que utilizáis en la demostración no es otra cosa que el corte diagonal de Cantor.

En el artículo "Adenda a Shelock Holmes y Alef-uno" del blog, dices que Gödel “escribió que la Teoría de Conjuntos (en partircular, la Teoría de los Transfinitos) describe una realidad objetiva (independiente de la mente humana), acerca de la cual cada afirmación es, o bien verdadera, o bien falsa”.

Y, a continuación dices: “Pero (si se me permite el atrevimiento) creo que Gödel se equivocaba en ese punto. Mi tesis (que algún día tal vez escribiré realmente en forma de tesis) es que Alef-uno existe tanto como existe Sherlock Holmes (o Harry Potter). Ambos tienen el mismo nivel de existencia, y por las mismas razones. Cantor creó Alef-uno de la misma manera que Conan Doyle creó a Sherlock Holmes, y así como hay axiomas de la Teoría de Conjuntos, también hay, como ya vimos, "axiomas" de Holmes. Y así como Harry Potter no vive en una realidad objetiva, de la misma manera la Teoría de los Transfinitos tampoco describe una realidad objetiva.”

No puedo estar más de acuerdo (por cierto, me encantaría poder leer esa tesis). Creo que la teoría de conjuntos transfinitos de Cantor es una maravilloso castillo en el aire. Pero si esto es así y algún día llegase a demostrarse que la teoría de conjuntos transfinitos de Cantor no es correcta, podría invalidar completamente la demostración de Gödel (¿estoy en lo cierto?).

2. Por otra parte, más adelante, en el mismo artículo, planteas la posibilidad de que la Conjetura de Goldbach sea indecidible con respecto a los Axiomas de Peano. Si no entiendo mal, esto es imposible, ya que si algún día llegara a probarse que la Conjetura de Goldbach es indecidible, esto sería una prueba definitiva de que es verdadera. En efecto, supongamos que la Conjetura de Goldbach es indecidible. En ese caso, no puede existir ningún contraejemplo de la conjetura que pruebe su falsedad. Pero si no existe ningún contraejemplo, esto significa que la conjetura es verdadera. Ese argumento podría aplicarse a cualquier problema computable, por lo que sólo los problemas no computables pueden ser indecidibles.

Un cordial saludo.

Gustavo Piñeiro dijo...

Estimado ILARI,

En realidad no es tan sorprendente. Intuitivamente, para ver si Dem(x,y) es verdadera, hay que ver si dos números concretos "x" e "y" verifican, o no, una cierta relación aritmética.

En cambio, para ver si "Existe x tal que Dem(x,y)" es verdadera (que expresa una propiedad del número "y") hay que ver, dado el número "y", si existe algún "x" (entre los infinitos posibles) que verifique la propiedad Dem(x,y).

La diferencia sería entre:

1. Dada una afirmación matemática concreta, verificar si un razonamiento en concreto que se ha propuesto para justificarla es correcto, o no.

O bien:

2. Dada una afirmación matemática concreta, ver si existe para ella una demostración.

Un saludo cordial,

Gustavo

Gustavo Piñeiro dijo...

Estimado IZ,

Respondo las preguntas:

1. La función d(n) de Gödel no es en realidad la función de Cantor, solamente está inspirada en ella. En realidad, la demostración de Gödel no depende en ningún aspecto de la Teoría de Conjuntos.

Tu pregunta se relaciona con una cuestión muy importante y es ésta: Gödel publicó su teorema en un momento histórico en que muchos matemáticos cuestionaban fuertemenete la validez de los razonamientos basados en el "infinito actual" de la Teoría de Conjuntos.

Por eso, para que su teorema pudiera ser aceptado sin reservas, Gödel omitió cuidadosamente todo razonamiento que apelara a conceptos "transfinitos". Más aún, su demostración es constructiva. No solamente prueba la existencia de indecidibles, sino que muestra una manera efectiva de escribirlos en una cantidad finita de pasos.

2. Supongamos que se probara que la Conjetura de Goldbach (CG) es indecidible con respecto a los Axiomas de Peano. Esto significaría, en particular, que no se la podría demostrar a partir de esos axiomas.

Ahora bien, es verdad que eso probaría que la CG es verdadera (pues si fuera falsa, su falsedad sí sería demostrable a partir de los Axiomas de Peano).

¿Hay una contradicción aquí? ¿Si se prueba que CG indemostrable entonces estamos demostrando CG? En realidad, no. No hay contradicción, veamos:

Si probáramos que CG es indecidible a partir de los Axiomas de Peano (nótese que CG no sería indecidible en sentido absoluto, sino a partir de los Axiomas de Peano), entonces probaríamos que CG es verdadera. Pero esta demostración de verdad no estaría basada en los Axiomas de Peano, sino en algún otro sistema, de allí que no habría contradicción.

Pero, podríamos objetar, ¿y si la demostración de que CG es indecidible de los Axiomas de Peano estuviera basada en esos mismos axiomas? ¿No retomaríamos la contradicción? en realidad esta situación es imposible, ya que probar la existencia de indecidibles en un sistema de axiomas implica probar su consistencia y el Teorema de Consistencia prueba que un sistema de axiomas no puede probar su propia consistencia. Por lo tanto si se probara que CG es indecidible a partir de los Axiomas de Peano, esa prueba no puede basarse en esos mismos axiomas.

Un saludo muy cordial,

Gustavo

IZ dijo...

Hola, Gustavo,

Dices en tu respuesta que “la demostración de Gödel no depende en ningún aspecto de la Teoría de Conjuntos”, y me surge una duda.

Supongamos que en el futuro se descubriese que la teoría de conjuntos transfinitos de Cantor es errónea y se reemplazase por una teoría (con otros axiomas) en la que el conjunto de todas las fórmulas generadas a partir de un alfabeto finito no es numerable. ¿No invalidaría esto la demostración de Gödel? Si no entiendo mal, la demostración de Gödel se basa en la posibilidad de listar todas las fórmulas del sistema formal en una matriz cuadrada (que permita la función diagonal), por lo que si esto no fuese posible, la demostración no sería válida. ¿Es así? Ya sé que este supuesto parece bastante improbable a día de hoy, pero cosas más raras se han visto.

Un cordial saludo.

Gustavo Piñeiro dijo...

Estimado IZ,

De hecho, se probó que la Teoría de Cantor era inconsistente y, hoy en día, se acepta en general la reformulación axiomática de Zermelo-Fraenkel. Esta teoría, a su vez, podría llegar ser inconsistente, pero de todos modos, la suposición de que alguna vez pudiera llegar a probarse que, contrariamente a lo que creemos, el conjunto de todas las fórmulas generadas a partir de un alfabeto finito no es numerable, parece extremadamente improbable. (Sostengo la idea de que la Teoría de Conjuntos es, en parte, una creación arbitraria, pero no en ese nivel.)

La verdad es que si alguna vez se demostrara que nuestro conocimiento actual de la matemática es erróneo hasta tal punto, entonces habría que revisar toda la matemática desde el principio.

De todos modos, no es correcto decir que la demostración de Gödel se basa en la posibilidad de listar todas las fórmulas del sistema formal en una matriz cuadrada (que permita la función diagonal). La función diagonal no depende para su definición de un listado completo de las fórmulas.

Si n es un número natural, entonces d(n) se define así (omitiendo algunos detalles formales, aquí innecesarios):

Si n es el código de una fórmula del tipo P(x), entonces d(n) es el código del enunciado P(n).

Si n no es el código de una fórmula del tipo P(x) entonces d(n) vale, digamos, 1.

d(n) es una función de N en N (no entre fórmulas) y la definición dada más arriba es válida aun si el conjunto de todas las fórmulas no fuera numerable.

Un saludo,

Gustavo

Alberto Bressan dijo...

En la página 85 existe un pequeño error de tipeo, la línea o paso nro 8 dice 1+0=1→S(1+0)=1 , este "=1" o de bería quitarse o escribirse como =S(1), sino estaríamos ante una incongruencia, dado que S(1+0)=2.
Estoy haciendo un curso sobre teorema de Gödel en la Universidad Nacional de la Patagonia, sede Comodoro Rivadavia, y el profesor dio el libro de de Uds como una de las bibliografías básicas del Curso.
Espero les sirva lo que encontré o me aclaren si el equivocado soy yo
Saludos

Gustavo Piñeiro dijo...

Estimado Alberto,

Tu observación es correcta.

A tu disposición por cualquier otra consulta. Un saludo,

Gustavo

Garubi dijo...

Hola desde Madrid, y gracias por el libro.

De las mil doscientas veintiuna preguntas pendientes que tengo apuntadas a fecha de hoy, comenzaré por éstas:

Una:
¿No estaría implícito, en el sistema formal elegido, con sus cuantificadores universales y sus variables numeradas con palotes, al menos el primer axioma de igualdad,x=x? Si "para todo" x predicamos una propiedad cualquiera, ¿no estamos ya "igualando" ya la "x" del predicado con la que sigue al cuantificador, así como si lo hacemos "para algún" "x"?

Otra:
El conjunto de de las partes del conjunto de todos los libros escritos y por escribir, ¿sería un libro?

La última:
¿No constituye per se la lista de razonamientos -por fuerza lícitos dentro del sistema formal propuesto, y además formalizados-, una demostración sintáctica del teorema de Gödel? ¿No lo haría esto -de ser cierto- un enunciado decidible, al menos sintácticamente?

Si con estas preguntas se os hace muy evidente que no me he dejado la piel en la comprensión de lo expuesto en el libro, sabed que el propio libro al menos, sí comienza a padecer desgaste, por la manipulación.

Me gusta más la portada de vuestra edición, es más sobria, aunque reconozco el encanto y la oportunidad de la bolita, en la nuestra.

Gracias otra vez,
Pedro

Gustavo Piñeiro dijo...

Hola,

1. ¿No estaría implícito, [...] al menos el primer axioma de igualdad,x=x?

En realidad, no. Los axiomas deben entenderse meramente como expresiones sintácticas, como sucesiones de símbolos carentes de significado. El signo "=", en particular, es un símbolo sin significado, del cual sólo conocemos las reglas sintácticas que rigen su manipulación. En este contexto, "x = x" no es obvio, sino que debe establecerse como axioma (o bien pueden darse axiomas que permitan deducirlo sintácticamente como teorema).

2. El conjunto de de las partes del conjunto de todos los libros escritos y por escribir, ¿sería un libro?

Habría que definir qué se entiende por "libro" ¿Un conjunto formado por dos libros es un libro? Si la respuesta a esta pregunta es que no, entonces también es negativa la respuesta a tu pregunta.

3. ¿No constituye per se la lista de razonamientos [...] una demostración sintáctica del teorema de Gödel? ¿No lo haría esto -de ser cierto- un enunciado decidible, al menos sintácticamente?

Si G es el enunciado indecidible construido por Gödel, entonces el teorema de Gödel afirma que "G es indecidible". En efecto, el enunciado "G es indecidible" es decidible, pero G mismo es indecidible.

Un saludo cordial,

Gustavo

Garubi dijo...

1. ¿Están implícitos los axiomas de igualdad, al menos x=x?

En realidad, no. Los axiomas deben entenderse meramente como expresiones sintácticas, como sucesiones de símbolos carentes de significado. El signo "=", en particular, es un símbolo sin significado, del cual sólo conocemos las reglas sintácticas que rigen su manipulación. En este contexto, "x = x" no es obvio, sino que debe establecerse como axioma (o bien pueden darse axiomas que permitan deducirlo sintácticamente como teorema)..

Si sigo las instrucciones del libro y he entendido hasta allí, Esta sería una forma válida de
escribir el primer axioma de igualdad: ∀v|(v| = v|). ¿Cómo opero con la regla si no sé a priori que las tres ocurrencias de v| representan el mismo símbolo? ¿Cómo puede serme explicado este extremo, si se supone que es la regla la que lo explica?

No quiero desaprovechar lo que escribí en primer lugar, que se parece a lo anterior:

Para "saber" qué símbolo estoy leyendo y si se trata de un "=", yo, ente mecánico, ciego a las cuestiones semánticas, respondo a un estímulo físico. Traduzco el estímulo a una representación
numérica del estímulo, y compruebo que dicho número es igual que el número de mi representación numérica interna del símbolo "=". Todavía no tenemos por qué haber establecido las reglas que rigen para la utilización del símbolo y, sin embargo, ya hemos utilizado la igualdad, para identificarlo.

No he conseguido expresarme mejor, confío en que se entiendan mis dudas.

Gracias de nuevo. Continuaré con los puntos 2 y 3 más adelante, y con las 1218 dudas restantes, a menos que se me ponga coto.

Un saludo.

Gustavo Piñeiro dijo...

Hola,

Sólo puedo responder lo siguiente: no necesitamos saber que "=" es el símbolo de la igualdad para operar sintácticamente con él. Cuando hablo de las reglas de manipulación me refiero, por ejemplo, a la siguiente: "si t y r son términos entonces (s = r) es una fórmula atómica".

Esta regla se puede aplicar sin conocer qué significa "=" (de hecho "=" podría reemplazarse por cualquier otro símbolo, tal como % o $).

Las otras cuestiones (como por ejemplo: cómo aprendemos a reconocer que dos símbolos son iguales, o cómo se hace que una computadora reconozca que dos símbolos son iguales, o cómo aprendemos el concepto de igualdad por primera vez) parecen caer fuera de la lógica y, debo admitir, me superan por completo.

Afortunadamente, para demostrar y comprender el teorema de Gödel podemos dar por asumido que el mecanismo que opera con las fórmulas es capaz de distinguir un símbolo del otro sin necesidad de adentrarnos en la pregunta de cómo esto sucede, de la misma forma en que yo puedo escribir este mensaje sin necesidad de detenerme a pesar por qué cuando oprimo la tecla a aparece una a en la pantalla.

Un saludo cordial,

Gustavo

Garubi dijo...

Gracias Gustavo, me doy por satisfecho. Aún así, el reconocimiento de caracteres parece prerequisito para la asunción de la sintaxis, así que seguiré a vueltas, porque no veo cómo reconocer un símbolo sin distinguir lo igual de lo distinto.

2. ¿Es el conjunto de las partes del conjunto de todos los libros escritos y por escribir...?

Habría que definir qué se entiende por "libro" ¿Un conjunto formado por dos libros es un libro?...

Para mí, en principio, cualquier conjunto arbitrariamente grande de libros es lícitamente un libro.

Esta pregunta tenía mucha intención, me da pié para una conjetura que someto (por favor) a tu juicio y/o comentario:

Se dice en el libro que el conjunto de las partes de un conjunto infinito numerable es no numerable.

Cualquier cantidad de libros puede ser compendiada en un libro.

Cualquier conjunto arbitrariamente grande de libros constituye un conjunto numerable.

Entonces, el conjunto de las partes de un conjunto grande pero finito de libros es numerable, ya que cada parte es a su vez un conjunto de libros -y un solo libro, por tanto, aplicando la regla de que dos libros son lícitamente compendiables en un libro-.

Así, podemos convertir en una cantidad finita de pasos cada parte del conjunto de las partes
de un número grande de libros en un libro y dicho conjunto a su vez en otro libro. Si hay un procedimiento algorítmico para hacer las partes de un conjunto, en ningún momento abandonamos la numerabilidad ni los procedimientos finitistas, y parece paradójico que el conjunto de las partes del conjunto de todos los libros escritos y por escribir (si el gremio de los escritores perdura, y mantiene su pasión por la escritura), no sea numerable.

La conjetura es que el conjunto de las partes del conjunto de todos los libros escritos y por
escribir es un libro, una secuencia de símbolos construída con un alfabeto con un
orden semejante al de los números naturales, y numerable, por tanto, en contradicción con la proposición de que las partes de un conjunto infinito numerable es no numerable.

3. ¿No constituye per se...

Si G es el enunciado indecidible...

Por esto compré el libro.

Gracias como siempre, y un saludo.

Pedro

Gustavo Piñeiro dijo...

Hola,

La cuestión de los libros me sigue resultando confusa, por una parte porque sigo sin comprender qué es exactamente lo que llamas un "libro", ni comprendo tampoco lo que llamas "el conjunto de las partes de un libro".

Puedo decir lo siguiente:

a) Llamamos "partes de un conjunto A" (P(A), en adelante) al conjunto cuyos elementos son todos los subconjuntos del conjunto A (cada elemento es en sí mismo un conjunto).

b) Si A es finito (¿un "libro" es un conjunto finito?) entonces P(A) es finito.

c) Si N es el conjunto de todos los números naturales, entonces P(N) es no numerable.

d) Si sólo nos restringimos a los subconjuntos finitos de N (vuelvo a la pregunta ¿un "libro" es un conjunto finito?), puede probarse entonces que "partes finitas de N" es numerable.

e) Si nos restringimos a los subconjuntos recursivos de N (¿un "libro" es un conjunto recursivo?) entonces, como antes, resulta que "partes recursivas de N" es numerable.

Precisamente, de c) y e) se deduce, dado que la familia de todos los subconjuntos de N es no numerable, pero la familia formada por los subconjuntos recursivos sí es numerable, que entonces deben existir infinitos subconjuntos de N no recursivos.

No sé si con esto he echado algo de luz a la cuestión.

Un saludo,

Gustavo

Garubi dijo...

Hola, gracias por el comentario, que por supuesto arroja algo de luz.
De hecho, ha servido para que clarifique el argumento y pueda exponerlo creo que con más rigor.

La cuestión de los libros me sigue resultando confusa, por una parte porque sigo sin comprender qué es exactamente lo que llamas un "libro"...

A una secuencia de símbolos construida con un alfabeto finito.

... ni comprendo tampoco lo que llamas "el conjunto de las partes de un libro".

Aquí tengo que ponerme algo abogado, para decir que no menciono "el conjunto de las partes de un libro", aunque no sé si es relevante.

En acuerdo con el punto a) y, llamando A al conjunto de todos los libros escritos y por escribir, menciono P(A).

No veía diferencia entre los números naturales y los libros entendidos ambos como sucesión de símbolos construida a partir de un alfabeto.

Veía claro, en el caso de los libros, que un libro es un libro con independencia de su tamaño, aunque veía esto sin una justificación más allá de la intuición.

Entendía que, si un libro no cambia de naturaleza en ningún momento, tampoco debían hacerlo los números naturales.

Ahora he dado con una expresión del argumento mucho más simple, aunque desconozco si es cierta o errónea, porque desconozco la axiomática de los conjuntos. En cualquier caso, es clara a mi intuición:

El cardinal de un conjunto es un número natural, si los elementos de un conjunto son átomos.

Si P(A) representa ahora a los naturales, en el supuesto anterior es un número natural. Si es así, o bien P(A) se forma “partiendo” átomos en algún momento, operación que parece contradictoria per se, o en ningún momento abandonan los números naturales su naturaleza. En este segundo caso, siempre podré contar unos números con otros (creo).

Gracias de nuevo, por tus comentarios.

Garubi dijo...

Con permiso y con perdón, reenuncio el último párrafo para que tenga algún sentido:

Si A representa ahora a los naturales, en el supuesto anterior, su cardinal, como el de P(A), es un número natural. Si es así, o bien P(A) se forma “partiendo” en algún momento los cardinales de los subconjuntos de A, que creo que son los que conciernen a la cuestión de la numerabilidad de P(A), o dichos cardinales conservan su naturaleza de número natural, en cuyo caso los sumo.

Gracias otra vez, y un saludo.
Pedro

Abel dijo...

Hola, Gustavo,
me remonto a los comentarios ingresados entre el 16 y 17 de mayo de 2009, por María Celia, vos, y Guillermo Martínez, sobre la anécdota de Chaitin (con Gödel y Einstein en medio).
Allí se menciona que el teorema de Chaitin es sobre complejidad y no sobre entropía. Si bien está claro que el término "entropía" se toma de la físicoquímica, ¿es posible que en teoría de la información se emplee también este término para referirse al uso de teoría de la probabilidad en la complejidad algorítmica?

Saludos!

Abel

Abel dijo...

Otro tema.
Tengo noticias abundantes acerca de hechos de limitación demostrados para los sistemas formales, y al parecer las teorías de la computabilidad, de la información, y de la complejidad, entre otras, han ampliado esos resultados a los algoritmos más usuales, y a la informática teórica.
Quisiera saber si existen intentos dedicados a encontrar formas de crear algoritmos "correctos por construcción", o por el método, algo así como la decidibilidad algorítmica, o sus límites. Pues los teoremas como el de Gödel marcan una cota superior para los sistemas formales, pero no veo la forma de encontrar, a partir de ellos, un máximo de los sistemas decidibles, o algo así como una mínima cota superior de estos sistemas. Si se pudiera encontrar algo así, sería aplicable a los cálculos prácticos y a la informática.

Gracias de antemano.

Saludos!

Abel

Gustavo Piñeiro dijo...

Estimado Abel,

En cuanto a la primera pregunta, el término "entropía", en efecto, se usa con un sentido específico en teoría de la información.

Informalmente, una secuencia formada por n unos y ceros tiene alta entropía si esencialmente la única forma de describirla es nombrando sus dígitos uno a uno, es decir, no se la puede describir con menos de n bits.

Para una secuencia de baja entropía, en cambio, es posible encontrar un programa que la genere, cuya escritura requiera en total menos de n bits. Un ejemplo de esto último sería: "repita 10.000.000 de veces el número 1".

Una secuencia muy entrópica se parece a la secuencia que se obtendría si los dígitos se obtuvieran arrojando, cada vez, una moneda al azar (si sale cara ponemos un 1, en caso contrario, un 0).

No alcanzo a comprender la segunda pregunta.

Un saludo,

Gustavo

Abel dijo...

Gustavo,
muchas gracias por tu respuesta.
Supongo que los números "trascendentes" (no algebraicos) tienen alta entropía, pero no la más alta, puesto que hay formas de describirlos que son más cortas que el propio número (aunque usando series infinitas), como los que resultan de funciones trigonométricas.
Una conjetura: "Todos los números reales con desarrollo finito tienen una descripción adicional a la de sus propios dígitos".
Si esto es así, los números de máxima entropía serían "Innombrables" o "Indescriptibles". Qué extraño suena.

Sobre la segunda pregunta, voy a pensar un tiempito a ver si encuentro una forma de aclararme a mí mismo lo que quiero decir, y entonces reintentaré.

Pienso que la bibliografía de los enlaces es muy valiosa; gracias por ofrecerla para todos.

Saludos!

Abel

Abel dijo...

Gustavo, vi la ¿paradoja? "esta afirmacion contiene cinco palabras"/"esta afirmación no contiene cinco palabras" en el foro de Rincón Matemático, citada por tí. Nunca había escuchado nada de ella. ¿Puedes decirnos quién es su autor?

Gracias de antemano.

Saludos,

Abel

Gustavo Piñeiro dijo...

Hola,

Vi esa paradoja por primera vez hace 20 o 25 años en un libro de Jaime Poniachik y Eduardo Giménez titulado "Acertijos Derviches" (librito extraordinario, hoy inconseguible). Desconozco si fue creada (o descubierta) por los autores precitados o si ellos, a su vez, la tomaron de otra fuente.

Un saludo,

Gustavo

Raúl dijo...

El teorema de Gödel se puede extender a todo sistema que contenga la parte de la aritmética que mencionáis en vuestro libro. Sin embargo, por lo que he estado leyendo, hay una teoria de conjuntos NFU (New Foundations with Urelements) que es consistente y permite hacer sumas y productos

¿Por qué no le afecta el teorema de Gödel?

Gustavo Piñeiro dijo...

No conozco esa teoría NFU, pero puedo decir que si se trata de una teoría consistente que contiene "suficiente aritmética" (en el sentido preciso que se explica en el libro) entonces valen para ella los teoremas de Gödel (en particular, la consistencia de la teoría no puede probarse por métodos representables en la propia teoría).

Un saludo,

Anónimo dijo...

He leído el libro y fue muy decepcionante en lo personal. Yo pensabe que con algunas materias matemáticas de Ingeniería me serviría en las demostraciones, pero casi nada, sólo en el conocimiento de los cuantificadores, pero aún así las expresiones lógicas me fue muy difícil leerlas.
El libro me pareció bastante difícil, todo tuve que leerlo 2 veces para entenderlo y el concepo de recursividad tarde un día en aprehenderlo. Lo que me seducía de libro era la idea general y en cuanto a eso estoy satisfecho pero las demostraciones aunque las entedí, me da la sensación de que me podrían estar mintiendo y no medaría cuenta nunca, es decir que es imposible que yo le encuentre un error si lo hubiera.
El capítulo que tratan de como se extendió conceptos de Godel a otras ciencias o filosofías me pareció realmente chino básico. La parte de semiótica o de Lacan, como no sé nada de eso me pareció al vicio, es decir que me parece que no debería ir esa parte. Aunque debo destacar que las impugnaciones y críticas que les hacen a todos ellos sí las entendí muy bien en la idea de que es arbitrario extender los conceptos de Godel y no otras teorías matemáticas.
Nunca he pensado tanto con un libro que leo por placer(suelo leer libros de política y filosofía política) y realmente no lo disfruté. Veo difícil que algún día lo vuelva a leer sin un interés específico para algo. ¿Será que la lógica matemática no es lo mío o que si está bien explicada para que yo la entienda entonces sí me parecerá interesante?
Imanol

Álvaro dijo...

Aprovecho este espacio para agradeceros el acercamiento a la Lógica y a la Matemática que me habéis brindado, máxime cuando, a pesar del cliché, provengo de "las mal llamadas" Humanidades. Quisiera abusar un poco de vuestra paciencia y pedir una recomendación bibliográfica (básica) para introducirme tanto en Lógica como en Matemáticas (partiendo de mi enemistad añeja con los números). Algo así como una tabula rasa: me habéis aguijoneado las inquietudes. :)
Un cordial saludo y muchas felicidades por vuestro trabajo.

Gustavo Piñeiro dijo...

Estimado Álvaro,

Dos libros que quizás puedan servirte son: "Lógica y Lenguaje" de Manuel Garrido y "¿Qué es la Lógica Matemática", de Alberto Moreno.

Un saludo,

Abel dijo...

Hola, Gustavo,
¿Me permites referirme al mensaje de Imanol [3 de agosto de 2010 12:41]?

La música siempre me ha fascinado con su poder para evocar, potenciar y causar emociones. No sólo las buenas y agradables: también la furia y la melancolía. Escuchando a Pavarotti, Callas, o las sonatas de Beethoven, parecería que allí están las emociones puras, sin más.

Cuando intenté hacer música por mí mísmo, me encontré con un ejército de hoscos y autoritarios profesores de solfeo, bibliotecas llenas de ininteligibles partituras, maestros de canto que te dicen que debes reaprender la respiración como un recién nacido...

Lo mismo me gusta pensar de la lógica y su relación con la palabra razonada: es la teoría y el solfeo, el nivel atómico-molecular de aquellos pensamientos que amamos.

Saludos!

Abel

Guido dijo...

Guillermo y Gustavo. antes que nada me gustaria felicitarlos por el libro, me parecio bastante accesible y profundo a la vez. si se me permite me gustaria hacer una critica, constructiva (obviamente). como psicoanalista, antropologo y licenciado en filosofia, he leido bastante de numerosos campos distintos y he visto como muchas disciplinas importan teorias, metodos o tecnicas de otras disciplinas. ésto, nunca fue sin lo que me gusta llamar un "bastardeo" de esas teorias, metodos o tecnicas. y es "logico" (permitanme usar esa palabra) que asi sea, porque una teoria de elabora con fines mas o menos delimitados (pero siempre delimitados) en relacion a la disciplina en la que surgen. con "bastardeo" quiero decir que toda teoria que es de un campo disciplinar y que se inserta en otro campo disciplinar, conlleva un corrimiento, un descentramiento de la teoria de donde surgio y por lo tanto de las bases en las que esta teoria se sustenta. el extrapolacion del teorema de Godel al psicoanalisis obviamente pierde todo valor "logico matematico", pero es que nunca sepretende incluir el psicoanalisis a la matematica. lo que Lacan pretende no es la utilizacion de la "logica matematica" pura, sina de una "logica del psicoanalisis" que es distinta. me parece que ustedes (los Autores) no pudieron ver esto, y esto es logico (permintanme otra vez el uso de la palabrita), porque no pueden concebir que exista una logica que no sea matematica, y que si se extrapola el teorema de Godel sea sobre los sólidos y acogedores pisos de la matematica. ¿no corremos el riesgo de absorver hacia la matematica cualquier disciplina que pretenda usar el teorema de Godel? eso no quiere decir que no haya observado los graves errores de Lacan en lo que él pretende como "demostraciones".
Quizas el peor error sea el de mantener el nombre de las teorias que se extrapolan. al respecto Miller escribio un articulo "de la linguistica a la linguisteria" para despejar las aguas y decir que el psicoanalista NO hace linguistica. tambien Nasio, hizo algo parecido en "Topologeria" para aclarar y adelantarse a las criticas vacias, que el psicoanalista NO hace topologia.
Creo que una critica de las extrapolaciones implica un profundo conocimiento de la teoria no extrapolada, sino de la teoria en la que se inserta. de lo contrario deberian hecharse por tierra los deseos de que el teorema pueda ser utilizado fuera de las matematicas, ya que en las importaciones de teorias, son éstas las que se adaptan al lugar en el que se le propone residir y no al reves.
es mi opinion, nada mas.
nuevamente felicitaciones por el libro.
saludos cordiales

Abel dijo...

Hola, Gustavo ¿me permites dirigirme a Guido [9 de agosto de 2010 18:03]?
Aceptado que no sea necesario seguir criterios de la lógica matemática para evaluar la "extrapolación" del teorema de Gödel al psicoanálisis lacaniano, ¿cuál sería el marco teórico epistemológico para hacerlo? ¿Aceptan los lacanianos alguna evaluación epistemológica?
He leído algunas justificaciones como "uso metafórico". En este sentido, no hay límites. Pero sería bueno saberlo de antemano.
En mi perfile está mi e-mail, Guido, si quieres que charlemos sobre el tema.

Gracias, Gustavo.

Saludos!

Abel

Gustavo Piñeiro dijo...

Publico el comentario de Abel, pero me permito pedirles que continúen el debate (si es que desean continuarlo) privadamente, tal como Abel sugiere.

Gracias. Un saludo,

Abel dijo...

Hola, Gustavo.
Te consulto sobre una afirmación del cap. 6, pág. 154; se dice que puede introducirse como axioma la negación de G. Ninguna duda que puede introducirse G, pero la negación significa que existe una demostración de G, por lo tanto es auto contradictoria. De modo que introducir ¬G hace inconsistente el sistema.
¿Podrías aclararme un poco el tema?
Gracias de antemano!

Saludos

Abel

Gustavo Piñeiro dijo...

Hola,

Si G es indecidible con respecto a un sistema de axiomas A entonces no existe (con respecto a ese sistema de axiomas) una demostración de G ni tampoco una demostración de no-G. Por lo tanto, si agregamos G como nuevos axioma el sistema así ampliado es consistente (porque no había una demostración de no-G) y también es consistente si agregamos no-G (porque no había una demostración de G). Un ejemplo bien conocido de esta situación es la del quinto postulado de Euclides (G) con respecto a los cuatro primeros postulados (A).

Un saludo,

Abel dijo...

Gustavo,
entiendo la introducción de G o ¬G no contradicen ninguna fórmula que ya estuviera en el sistema. Y esto sigue así con G. Pero ¬G significa que existe una demostración de G. ¿Puedo tener un axioma que dice eso, y sin embargo carecer de la demostración que haría inconsistente el sistema? [En el caso del quinto postulado esto no se da, porque no es autorreferente].

Saludos!

Abel

Gustavo Piñeiro dijo...

Hola Abel,

G no es formalmente deducible de A, y tampoco lo es no-G. Por lo tanto A U {G} y A U {no-G} son ambos consistentes. Ahora bien "consistencia" y "formalmente deducible" son conceptos puramente sintácticos, independientes del significado que se les atribuya a los símbolos. Y la demostración de que G es indecidible fue hecha por Gödel de modo puramente sintáctico (tal como en el libro se hace para el enunciado R).

Ahora bien, G y no-G son solamente una sucesión de símbolos a los cuales se les pueden atribuir diferentes significados (en una de esta asignaciones resulta ser G autorreferente, pero no en todas).

Si a los símbolos se les atribuye el sentido usual entonces G puede interpretarse diciendo "Yo no soy demostrable en A". Pero A U {no-G} es consistente y existe entonces un modelo de A U {no-G}, es decir, una interpretación de los signos tal que tanto los enunciados de A como no-G son todos verdaderos. Pero para esta interpretación G ya no dice "no soy demostrable".

Un saludo,

Abel dijo...

Muchas gracias, Gustavo.
Supongo que te refieres a los famosos modelos no standard.

Una última pregunta: ¿dónde puedo encontrar información sobre esos modelos?

Saludos!

Abel

Gustavo Piñeiro dijo...

Sí, me refiero a ese tema. Información sobre modelos no estándar se puede encontrar en cualquier libro de teoría de modelos.

Un saludo,

Romualdo Caruso dijo...

Ante todo, felicitaciones por el libro.

Estoy leyendo la primera edición de mayo del 2009 y encuentro una errata en la página 85, enunciado 8
debería decir

1 + 0 = 1 -> S(1 + 0) = S(1)

en lugar de

1 + 0 = 1 -> S(1 + 0) = 1

Pido disculpas si esta errata ya fue corregida en versiones posteriores.

Saludos,

Romualdo Caruso

Gustavo Piñeiro dijo...

Gracias. Sí, ya había sido encontrada y fue corregida. Gracias de todos modos por la lectura atenta.

Un saludo,

Raúl dijo...

No termino de entender bien como una teoría puede ser consistente y en cambio no ω-consistente. Si hemos probado algo para cada numero natural, en una teoria consistente, no podemos probar que haya algun numero que no cumpla ese algo, esto , yo lo veo como una dedución lógica, y entonces ω-consistente y consistente querrían decir lo mismo. Obviamente , en algo me estoy equivocando, pero no llego a ver la diferencia (no equivalencia) de ambos términos

Gustavo Piñeiro dijo...

Hola,

Debemos distinguir entre "verdadero" y "demostrable". Por otra parte, "demostrable" quiere decir aquí "demostrable a partir de un determinado conjunto de axiomas usando las reglas de inferencia de la lógica de primer orden".

Así establecidos los términos, aunque sea contrario a la intuición, puede suceder que P(0), P(1), P(2),... sean todos enunciados demostrables, pero que el enunciado "Para todo n, P(n)" no sea demostrable (por supuesto, si la teoría es consistente, tampoco es demostrable su negación).

Un saludo,

Raúl dijo...

Pag 97 ed española

Gödel observó que si en una teoría cualquiera pueden definirse los números naturales junto con las operaciones de suma y multiplicación, entonces pueden desarrollarse los argumentos de su demostración para probar la incompletitud de la teoría.

Se supone que las teorías de conjuntos quedan afectadas por dicho teorema, pero ¿qué hay que entender porque en una teoría se pueda definir los números naturales con suma y producto?

Gustavo Piñeiro dijo...

Por ejemplo, puede entenderse en el sentido de que la teoría contiene un conjunto de enunciados equivalentes a los axiomas de Peano.

Raúl dijo...

Gracias por la aclaración. Aunque no tengo claro que significa "equivalente" aquí. Imagino que será que exista un isomorfismo entre los números naturales y sus 2 operaciones con conceptos de la teoría de conjuntos en cuestión

Tengo otro dilema ahora. Si esa es la condición que determina que se pueda aplicar el teorema de GÖdel a una teoría, entonces la aritmetica no se puede demostrar ni desde dentro ni desde fuera del sistema axiomático, ¿es así

Otra cuestión, en el libro hablas de "la no demostrabilidad de la consistencia del propio sistema, puede ser ahora probado rigurosamente para todo sistema formal que contenga una cierta cantidad de teoría de numeros finitista"

Entonces, ¿nunca podrémos estar seguros de que estamos trabajando con una teoria consistente?

Gracias de nuevo, y un saludo

Gustavo Piñeiro dijo...

Hola,

No comprendo la frase: "la aritmética no se puede demostrar ni desde dentro ni desde fuera del sistema axiomático". ¿te estarás refiriendo a la consistencia de la aritmética. Si así fuera, la consistencia de la aritmética sí puede demostrarse, pero supuesta la consistencia de la teoría de conjuntos.

Sobre la otra cuestión, en efecto nunca podremos tener la certeza matemática de que la Matemática es consistente. Toda demostración de consistencia de alguna de sus áreas supone la consistencia de un área "más potente", cuya consistencia es, en todo caso, aún más dudosa (como en el ejemplo anterior, el de la aritmética y la teoría de conjuntos).

Tal vez podríamos convencernos de la consistencia de la matemática (o de la aritmética) usando argumentos extra-matemáticos (de tipo filosófico, digamos). O bien podríamos adoptar una actitud más pragmática y trabajar como si la matemática fuera realmente consistente y olvidarnos de la cuestión, por lo menos mientras no se demuestre lo contrario. Intuyo que esta última es, en general, la actitud que adopta la mayoría de los matemáticos.

Un saludo,

Romualdo Caruso dijo...

En la primera edición del 2009 se encuentra en la página 88, renglón 10 una posible errata:
Donde dice
Par(x) : ∃ y (y = 2 · x)
debería decir
Par(x) : ∃ y (x = 2 · y)
Nuevamente disculpas si la errata fue corregida en versiones posteriores.

Raúl dijo...

No ha sido en el libro, pero he leido que si PA es cierta,lda teoria PA+negación de la consistencia de (PA) es consistente, debido al teorema de Gödel.¿Cómo puede ser, esa teoría es una total contradicción, todo lo demostrado usando los axiomas PA (que están) está contradicho por el axioma que niega tal consistencia. ¿No sería mas bien un axioma indecidible

Gustavo Piñeiro dijo...

La respuesta es esencialmente la misma que le di a Abel el pasado 26 de agosto:

CON (la afirmación de que PA es consistente) no es formalmente deducible de PA, y tampoco lo es no-CON. Por lo tanto PA U {CON} y PA U {no-CON} son ambos consistentes. Ahora bien "consistencia" y "formalmente deducible" son conceptos puramente sintácticos, independientes del significado que se les atribuya a los símbolos. Y la demostración de que CON es indecidible fue hecha por Gödel de modo puramente sintáctico (tal como se muestra en el libro).

Ahora bien, CON y no-CON son solamente una sucesión de símbolos a los cuales se les pueden atribuir diferentes significados.

Si a los símbolos se les atribuye el sentido usual entonces CON puede interpretarse diciendo "PA es consistente". Pero PA U {no-CON} es consistente y existe entonces un modelo de PA U {no-CON}, es decir, una interpretación de los signos tal que tanto los enunciados de PA como no-CON son todos verdaderos. Pero para esta interpretación CON ya no dice "PA es consistente".

Un saludo,

Raúl dijo...

Gracias. A veces conviene repasar el blog aparte de el libro. Siento haberte hecho una pregunta que ya te habían hecho. VOy a ver si aprendo algo sobre los modelos no estandar, que son todavía un misterio para mi.

¿Tú recomendarias algun libro o link en concreto, para alguien como yo , que tiene poco nivel en Matemáticas?

Un saludo

Gustavo Piñeiro dijo...

No sé si el tema puede resultar accesible sin el respaldo de una previa formación en lógica matemática. Pero un libro muy recomendable es "Teoría de Modelos" de Chang y Keisler.

Un saludo,

Raúl dijo...

Una ultima cuestión. Si en PA+(no-CON) hay que usar otros modelos de números naturales, ¿cómo sabemos que el modelo digamos "normal" de PA es aplicable en PA, y no nos pasara lo mismo, que hubiera que reinterpretarlo con otro modelo también. Es decir , ¿cómo se sabe cuándo hay que aplicar el modelo estanda y cuando no?

Gracias. Un saludo

Gustavo Piñeiro dijo...

Si aceptamos que PA es consistente entonces CON es verdadera. Ahora bien, CON es construida interpretando los símbolos de PA de la manera usual (teóricamente, es sólo una sucesión de símbolos, pero al construirla tenemos en mente la interpretación usual).

Luego, el modo correcto de decirlo es "CON es verdadera para la interpretación usual de los símbolos", que es decir que es verdadera para el modelo estándar.

Por lo tanto, el modelo estándar es un modelo de PA U {CON}. Análogamente no-CON es falsa para la interpretación usual, por lo que PA U {no-CON} sólo admite modelos no estándar.

Un saludo,

Raúl dijo...

Hola

Con respecto a la pregunta te hice el sabado, me dijiste que había modelos no estandar para PA. COmo el argumento de PA+CON se puede razonar paralelamente para otra teoría como ZFC,Y también le afecta el teorema de Gödel,supongo ZFC tiene también modelos varios. Mi pregunta es, ¿Cómo se distingue el modelo estandar de una teoría, y en el caso de hacer "juegos de construccion" de ZFC+CON(ZFC) o ZFC+(negacion de de ZFC), cómo se sabe que modelo aplicar a cada interpretacion (modelo) de la teoría?

Gustavo Piñeiro dijo...

Estimado Raúl,

Sí, ZFC tiene muchos modelos no isomorfos entre sí. Por ejemplo, algunos modelos donde vale la Hipótesis del Continuo y otros donde no vale, entre estos últimos, a su vez, modelos donde la potencia del continuo es aleph_2 o aleph_3, etc.

Pero profundizar sobre estos tema equivaldría a dictar un curso resumido de Teoría de Modelos.

Mi sugerencia, dado tu interés, es que leas algún texto sobre el tema. Además del que te recomendé en el comentario anterior, el matemático español Carlos Ivorra tiene escritos varios textos de Lógica (entre ellos, uno de Teoría de Modelos) que pueden descargarse gratuitamente (y legalmente) desde su página web.

Un saludo,

Raúl dijo...

Hola.

Casualmente el libro de Carlos Iborra lo tengo ya descargado, aunque la parte de modelos no consigo entenderla por el momento. Pero a ver si esto que te digo me lo puedes aclarar un poco. Toda teoría incompleta, al menos las que son incompletas por el teorema de Gödel, admiten modelos no isomorfos.

Por ejemplo, la teoría de los números reales, para el analisis matemático (no digo la teoría algebraica, que sé que es completa, digo la teoría del analisis de números reales,y lo digo porque lo mencionas en el blog, que en el momento que se introduce algo que nos permita definir los numeros naturales, queda afectada por Gödel, y la función seno lo permite. Entonces, ¿cómo podemos estar seguros de que el módelo con el que trabajamos toda la vida,que usamos en las ciencias experimentales mediante ecuaciones diferenciales, etc...es el que corresponde al modelo que estamos usando de la teoría?.

Tampoco tengo claro si hay algun criterio para elegir la teoría estandar de entre todas las no estandar

Un saludo y gracias

Gustavo Piñeiro dijo...

Estimado Raúl,

Me temo que no puedo responder a tus preguntas sin adentrarme en largas consideraciones sobre Teoría de Modelos.

Un saludo!

Raúl dijo...

Perdona mi insistencia sobre teoría de modelos. No aspiro (lo intento pero veo que me queda grande, voy a estar en el último eslabón del principio de Peter), pero, aunque sea parte de una pregunta anterior. Se podría explicar en pocas palabras, ¿por qué preferimos un modelo determinado a los otros modelos "no estandar"? Y , bueno, algo que doy por hecho, las teorías completas no dejan resquicio a modelos no estándar, ¿no es así?


En Wikipedia hay una entrada que habla de modelos no estandar (en inglées) y dice que se pueden ver como extensiones o restricciones a la teoría estandar)

Un saludo

Gustavo Piñeiro dijo...

Cuando elegimos un sistema de axiomas ya tenemos en mente un modelo que esos axiomas describen. A ese modelo se lo suele llamar estándar, mientras se llama no estándar cualquier otro modelos de esos mismos axiomas (si es que existe alguno). Pero se trata de una distinción arbitraria que no se refiere a una propiedad intrínseca de los modelos en sí.

Sobre la segunda pregunta, no deberías confundir los conceptos de "completo" y "categórico". Para definiciones precisas vuelvo a remitirte a algún texto de teoría de modelos.

Un saludo,

Raúl dijo...

Hola, nuevamente.

Decís que cuando planteamos unos axiomas , todos tenemos un modelo en mente (en el caso de PA , la suma de numeros naturales, pero, cómo saber que ese es el mismo para todoslos casos (por poner un ejemplo en el caso PA , ZFC, etc...donde hay módelos no estandar

Si tenemos la misma axiomática, cómo podemos estar seguro que todos nuestros teoremas han sido demostrados en nuestra teoría para un mismo modelo de ésta, y qué todos tenemos en mente el mismo, se le llame estandar o no

He leido un libro de Iborra (el que se llama analisis no estandar), hay un capitulo entero que trata sobre modelos no estandar de teoría de conjuntos (pero introduce un axioma que llama principio de transferencia, ligado a unos conjuntos y pertenencias "Internas" frente a otras no estandar. Ese axioma, ¿es el que es crucial para crear modelos no estandar, de tal forma, que nuestro modelo va a ser isomorfo, salvo aplicaciones de ese axioma)

Raúl dijo...

Por lo que estoy viendo en el libro de Ivorra, y en un articulo sobre PA, los elementos no estandar son como una especie de numeros infinitos, o infinitesimales en el caso del analisis, que se añaden a los normales , como una especie de parásitos que lleva cualquier axiomática, pero no encuentro la analogía que sería para conjuntos. Siento preguntar tanto, el libro de Ivorra no termino de entenderlo y el que me recomendaste no lo encuentro

Un saludo

Gustavo Piñeiro dijo...

Lo lamento, pero algunas de esas preguntas me exceden.

Un saludo,

Anónimo dijo...

Saludos. Y una felicitación, porque dificilmente yo entendería estos temas en un libro matemático "serio"

Pero hay un punto que no me queda claro. Si una teoría no es demostrable su consistencia, como PA. ¿Cómo puede haber un modelo en el que hacemos sumas y multiplicaciones?

P ej, 3*4=12 12+3=15. El sistema de numeración y la manera de operar, no constituyen ya un modelo¿?

Raúl dijo...

Perdón si hice alguna pregunta inconveniente.
Una cuestión acerca de la cuál me advertías el otro día, es no confundir completitud con categoricidad, pero, si una teoría es completa, todo enunciado se puede valorar como cierto o falso, o se de muestra una cosa o la contraria. Si es completa, ¿puede no ser categórica?.
Porque no hay enunciados indecidibles para extender nuestra teoría afirmando o negando la proposición indecidible como axioma

Un saludo, y perdón nuevamente si he hecho alguna pregunta que no venía al caso

Gustavo Piñeiro dijo...

Estimado Anónimo,

El Segundo Teorema no dice que no se pueda probar la consistencia de la Aritmética. De hecho Gentzen probó la consistencia de la Aritmética, basándose en una parte de la Teoría de Conjuntos. Lo que prueba Gödel es que para demostrar la consistencia de la Aritmética debe apelarse necesariamente a argumentos exteriores a ella. (El modelo estándar de la Aritmética se define en base a la Teoría de Conjuntos.)

Un saludo,

Gustavo Piñeiro dijo...

Estimado Raúl,

No has hecho ninguna pregunta inconveniente. Lo que trato de decirte desde hace ya algunos días es que las respuestas a tus preguntas son demasiado complejas y necesitan demasiados prerrequisitos como para que yo pueda responderlas aquí.

Conviene que estudies algún libro de teoría de modelos, o que asistas a un curso sobre el tema. O tal vez, en el foro de lógica matemática que está enlazado desde este mismo blog puedan ayudarte a resolver tus dudas.

Un saludo,

Gustavo Piñeiro dijo...

Éste es el comentario número 200 de esta entrada. (Afirmación autorreferente, verdadera y demostrable.)

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